Binomska porazdelitev je diskretna porazdelitev verjetnosti, ki opisuje število uspehov pri izvedbi n neodvisnih poskusov na naključni spremenljivki..
Obstaja velika raznolikost poskusov ali dogodkov, ki jih je mogoče opredeliti pri tej porazdelitvi verjetnosti. Predstavljajte si metanje kovancev, v katerem dogodek "hitting heads" definiramo kot uspeh. Če kovanec vržemo 5-krat in preštejemo zadetke (glave), ki jih dobimo, bi naša verjetnostna porazdelitev ustrezala binomski porazdelitvi.
Zato binomsko porazdelitev razumemo kot vrsto testov ali preskusov, v katerih imamo lahko le dva rezultata (uspeh ali neuspeh), pri čemer je uspeh naša naključna spremenljivka.
Lastnosti binomske porazdelitve
Da se šteje, da naključna spremenljivka sledi binomski porazdelitvi, mora izpolnjevati naslednje lastnosti:
- V vsakem poskusu, eksperimentu ali testu sta možna le dva rezultata (uspeh ali neuspeh).
- Verjetnost uspeha mora biti konstantna. To predstavlja črka p. Verjetnost premikanja glav kovanca je 0,5 in to je konstantno, saj se kovanec v vsakem poskusu ne spremeni in verjetnosti glav so konstantne.
- Tudi verjetnost okvare mora biti konstantna. To predstavlja črka q = 1-p. Pomembno je omeniti, da lahko s pomočjo te enačbe, če poznamo p ali poznamo q, dobimo tisto, ki nam manjka.
- Rezultat, dobljen v vsakem poskusu, je neodvisen od prejšnjega. Zato dogajanje v posameznem poskusu ne vpliva na naslednje.
- Dogodka se medsebojno izključujeta, torej ne moreta se oba pojaviti hkrati. Možno je biti hkrati moški in ženska ali da bo pri metanju kovanca istočasno prišel ven.
- Dogodki so kolektivno izčrpni, to pomeni, da se mora zgoditi vsaj eden od dveh. Če nisi moški, si ženska in če vržeš kovanec, če ne pride na glavo, mora biti rep.
- Naključna spremenljivka, ki sledi binomski porazdelitvi, je običajno predstavljena kot X ~ (n, p), kjer n predstavlja število poskusov ali poskusov in p verjetnost uspeha.
Formula binomske porazdelitve
Formula za izračun normalne porazdelitve je:
Kje:
n = število poskusov / poskusov
x = število uspehov
p = verjetnost uspeha
q = verjetnost okvare (1-p)
Pomembno je opozoriti, da izraz v oglatih oklepajih ni matrični izraz, ampak je rezultat kombinacijske funkcije brez ponovitve. To dobimo z naslednjo formulo:
Klicaj v prejšnjem izrazu predstavlja faktorjski simbol.
Primer binomne porazdelitve
Predstavljajmo si, da je 80% ljudi na svetu videlo zadnjo tekmo zadnjega nogometnega svetovnega pokala. Po dogodku se srečajo 4 prijatelji, ki se pogovorijo. Kakšna je verjetnost, da so si igro ogledali 3 od njih?
Določimo spremenljivke poskusa:
n = 4 (je skupni vzorec, ki ga imamo)
x = število uspehov, kar je v tem primeru enako 3, saj iščemo verjetnost, da so jo videli 3 od 4 prijateljev.
p = verjetnost uspeha (0,8)
q = verjetnost okvare (0,2). Ta rezultat dobimo z odštevanjem 1-p.
Po opredelitvi vseh spremenljivk v formuli preprosto nadomestimo.
Števnik faktorijeve bi dobili tako, da pomnožimo 4 * 3 * 2 * 1 = 24, v imenovalcu pa bi imeli 3 * 2 * 1 * 1 = 6. Zato bi bil rezultat faktorja 24/6 = 4 .
Zunaj nosilca imamo dve številki. Prva bi bila 0,8 3 = 0,512, druga pa 0,2 (ker je 4-3 = 1 in vsako število, ki je zvišano na 1, je enako).
Zato bi bil naš končni rezultat: 4 * 0,512 * 0,2 = 0,4096. Če pomnožimo s 100, imamo 40,96% verjetnosti, da so 3 od 4 prijateljev videli finalno tekmo svetovnega pokala.