Težišče trikotnika je točka, kjer se sekajo mediane slike. Znan je tudi kot centroid.
Ne smemo pozabiti, da je mediana odsek, ki povezuje oglišče trikotnika s središčem njegove nasprotne strani. Tako ima vsak trikotnik tri mediane.
Na primer, v zgornjem trikotniku je težišče točka O, pri čemer so mediane segmenti AF, BD in CE.
Pomembna lastnost težišča je, da je njegova razdalja od vsakega oglišča dvakrat večja od nasprotne strani.
Za lažjo razlago lahko v vsaki mediani ločimo dva dela:
- Razdalja od oglišča do težišča, ki je 2/3 dolžine mediane
- Preostala 1/3, kar je razdalja od težišča do sredine nasprotne strani.
Na zgornji sliki je na primer res, da:
Kako najti težišče trikotnika
Za iskanje težišča trikotnika moramo upoštevati, da ob poznavanju koordinat treh oglišč trikotnika koordinate težišča ustrezajo njegovi aritmetični sredini. Recimo, da so točke:
Potem bi bile koordinate težišča, ki ga bomo imenovali O:
Zdaj je mogoče najti tudi težišče, če imamo enačbe črt, ki vsebujejo vsaj dve srednji vrednosti.
Spomnimo se, da lahko v analitični geometriji črto izrazimo kot algebrsko enačbo prvega reda kot:
y = xm + b
V prikazani enačbi je y koordinata na osi ordinat (navpično), x koordinata na osi abscis (vodoravno), m naklon (naklon), ki tvori črto glede na os abscis, in b točka, kjer premica seka ordinatno os.
Za boljše razumevanje zgornjega si oglejmo primer.
Primer težišča
Recimo, da imamo trikotnik, za katerega poznamo dve njegovi točki:
A (0,4) in B (-2,1)
Zdaj je še znano, da je središčnica stranice, ki je nasproti oglišča A (3,1), in sredina točke strani, ki je nasproti oglišča B, (4, 2,5). Treba je pojasniti, da uporabljamo podpičje, da ga ne bi zamenjali z vejico, ki ločuje decimalne znake.
Najprej bomo našli enačbo premice, ki vsebuje srednjo vrednost, ki se začne od točke A, pri čemer moramo upoštevati, da mora biti naklon pri prehodu iz ene točke v drugo vedno enak. Naklon je sprememba navpične osi med variacijo vodoravne osi:
Kar smo storili, je, da predpostavimo, da premica poteka skozi točko (x1, y1), ki je oglišče A (0, 4), in skozi točko (x2, y2), ki je sredina njegove nasprotne strani (3, 1).
Nato naredimo enako z ogliščem B (-2,1) in središčem njegove nasprotne strani (-4, -2,5):
V naslednjem koraku izenačimo desno stran obeh enačb, ki jih najdemo za vrednost na osi X, ko obe sovpadata:
Nato v kateri koli enačbi rešimo vrednost y:
Zato je težišče trikotnika točka (2,2) v kartezični ravnini.