Ravnotežni modeli obrestnih mer so ravnotežni modeli, ki temeljijo na Brownovem geometričnem postopku in na tveganju nevtralnosti kratkoročnih obrestnih mer.
Z drugimi besedami, ravnotežni obrestni modeli uporabljajo krajše obrestne mere za izračun prihodnjih obrestnih mer ob upoštevanju časovne strukture obrestnih mer.
Kot referenco za kratkoročne obrestne mere bomo uporabili obrestne mere obveznice brez kupona. Primer bi lahko bili kratkoročno izdani španski zakladni zapisi.
Priporočeni elementi: obveznica brez kupona, opcija in reverzija povprečja.
Časovna struktura ničelnih kuponskih cen obveznic je pridobljena iz Brownovega geometrijskega procesa, ki zajema neskončno majhne spremembe kratkoročnih obrestnih mer.
Cene brezkuponskih obveznic se uporabljajo za vrednotenje cen brezkuponskih obveznic in kuponskih obveznic.
Torej, za izračun prihodnjih cen brezkuponskih obveznic potrebujemo kratkoročne obrestne mere brez kupon. Na ta način lahko sestavimo tudi krivuljo ali časovno strukturo ničelnih obrestnih mer. Ko dobimo krivuljo, lahko določimo razvoj dolgoročnih obrestnih mer glede na kratkoročne obrestne mere.
Struktura rokov ali krivulja obrestne mere brezkuponskih obveznic, izračunana po modelu Vasicek:
Predpostavke ravnotežnega modela o obrestnih merah
Predpostavke modela so:
- Nevtralnost tveganja.
Za klasično predpostavko vrednotenja sredstev na finančnih trgih predpostavljamo nevtralno tveganje. Ta predpostavka je ključna za pridobitev cene obveznice z uporabo simulacije Monte Carlo.
- Log-normalna porazdelitev obveznic in obrestnih mer.
Predpostavljamo logično normalno porazdelitev, saj obrestne mere predstavljamo kot pozitivno spremenljivko, kot so cene obveznic. Ne bi bilo smiselno ocenjevati obveznic z negativno ceno. Ob predpostavki log-normalne porazdelitve obrestnih mer lahko rečemo, da bodo obrestne mere sledile Brownovemu geometričnemu procesu. Če bi bila porazdelitev obrestnih mer običajna, bi rekli, da obrestne mere sledijo Brownovemu aritmetičnemu postopku.
Enotni ravnotežni modeli
Enofaktorski ravnotežni modeli so modeli za izračun časovne strukture obrestnih mer iz kratkoročnih obrestnih mer.
Za en dejavnik rečemo, ker tveganje ali negotovost daje en sam dejavnik: nihajnost obrestnih mer. Obstajajo dvofaktorski ravnotežni modeli, ki ponujajo več možnosti gibanja obrestnih mer.
Matematično definiramo enofaktorski ravnotežni model oblike:
Kje,
- r (t): kratkoročne obrestne mere v trenutku t.
- dr: sprememba obrestnih mer (r) skozi čas (dt).
- dt: čas teče = evolucija časa.
- m (r) dt: smer ali trend (m), ki ga upoštevajo obrestne mere (r) skozi čas (dt).
- s (r): standardni odklon obrestnih mer (r).
- dZ: naključna komponenta ali motnja, ki sledi normalni porazdelitvi s povprečjem 0 in varianco 1.
Zgornji izraz je znan kot a stohastična diferencialna enačba izraženo s postopkom Itô.
Vrste modelov
Najpogostejši enofaktorski ravnotežni modeli so:
- Rendlemanov in Bartterjev model.
- Model Vasicek.
- Model Cox, Ingresoll in Ross.