Matematični model je model, ki z matematičnimi formulami predstavlja razmerje med različnimi spremenljivkami, parametri in omejitvami.
Matematični model je poenostavljena predstavitev pojava ali razmerja med dvema ali več spremenljivkami z matematičnimi enačbami, funkcijami ali formulami. Veja matematike, ki je odgovorna za proučevanje lastnosti in strukture modelov, je tako imenovana "teorija modelov".
Čemu služi matematični model?
Matematični modeli se uporabljajo za analizo razmerja med dvema ali več spremenljivkami. Z njimi lahko razumemo naravne, družbene, fizične pojave itd. Glede na iskani cilj in zasnovo istega modela jih je mogoče uporabiti med drugimi cilji za napovedovanje vrednosti spremenljivk v prihodnosti, postavljanje hipotez, oceno učinkov določene politike ali dejavnosti.
Čeprav se zdi teoretičen koncept, v resnici obstajajo številni vidiki vsakdanjega življenja, ki jih urejajo matematični modeli. Zgodi se namreč, da niso matematični modeli, osredotočeni na teoretiziranje. Namesto tega gre za matematične modele, oblikovane tako, da nekaj deluje. Na primer avto.
Osnovni elementi matematičnega modela
Matematični modeli se lahko razlikujejo po svoji zapletenosti, vendar imajo vsi vrsto osnovnih značilnosti:
- Spremenljivke: So koncepti ali predmeti, ki jih želi razumeti ali analizirati. Še posebej glede na njegovo razmerje z drugimi spremenljivkami. Tako je na primer spremenljivka lahko plača delavcev in tisto, kar želimo analizirati, so njihovi glavni dejavniki (na primer: leta študija, izobrazba staršev, kraj rojstva itd.).
- Parametri: To so znane ali nadzorovane vrednosti modela.
- Omejitve: To so določene omejitve, ki kažejo, da so rezultati analize razumni. Če je na primer ena od spremenljivk število otrok v družini, je naravna omejitev ta, da ta vrednost ne more biti negativna.
- Razmerja med spremenljivkami: Model vzpostavlja določeno razmerje med spremenljivkami, ki temeljijo na ekonomskih, fizikalnih, kemijskih teorijah itd.
- Poenostavljene predstavitve: Ena bistvenih značilnosti matematičnega modela je prikaz razmerij med spremenljivkami, ki se preučujejo z elementi matematike, kot so: funkcije, enačbe, formule itd.
Zaželene lastnosti matematičnega modela
Ko je zasnovan matematični model, je predvideno, da ima nabor lastnosti, ki pomagajo zagotoviti njegovo robustnost in učinkovitost. Med temi lastnostmi so:
- Preprostost: Eden glavnih ciljev matematičnega modela je poenostaviti resničnost, da jo bolje razumemo.
- Objektivnost: Da nima pristranskosti ne teoretičnih ne predsodkov ali idej svojih oblikovalcev.
- Občutljivost: Da lahko odraža učinke majhnih variacij.
- Stabilnost: Da se matematični model bistveno ne spremeni, če pride do majhnih sprememb spremenljivk.
- Univerzalnost: Da velja za več kontekstov in ne le za določen primer.
Očitno jih je še veliko več, vendar so zgornji najbolj intuitivni.
Procesi za izdelavo matematičnega modela
Na splošno je postopek razvoja matematičnega modela naslednji:
- Poiščite pojav ali težavo.
- Oblikujte model z elementi matematike, ki predstavljajo izbrani problem in identificirajo ustrezne spremenljivke (odvisne in neodvisne).
- Vzpostavite hipoteze in preskusno metodo za verodostojnost.
- Uporabite matematično znanje za rešitev modela in po potrebi napovedujte.
- Naredite primerjave pridobljenih podatkov z resničnimi podatki.
- Če rezultati ne ustrezajo pričakovanjem, prilagodite matematični model.
Vrste matematičnih modelov
Obstajajo različne vrste matematičnih modelov. Tu je nekaj najpomembnejših vrst modelov:
Glede na uporabljene informacije
- Hevristična: Na podlagi možnih razlag o vzrokih opaženih pojavov.
- Empirično: Uporablja informacije iz dejanskih poskusov.
Glede na vrsto zastopanja
- Kakovostna ali konceptualna: Nanašajo se na analizo kakovosti ali trenda pojava brez izračuna natančne vrednosti.
- Kvantitativna ali številčna: Dobljeni rezultati imajo določeno vrednost, ki ima določen pomen (lahko je natančen ali relativni).
Glede na naključnost
- Deterministično: Nima negotovosti, vrednosti so znane.
- Stohastično: Vrednost spremenljivk ni ves čas natančno znana. Obstaja negotovost in zato verjetnostna porazdelitev rezultatov.
Glede na vašo prošnjo ali cilj
- Simulacija ali opisna: Simulira ali opisuje pojav. Rezultati so osredotočeni na napovedovanje, kaj se bo zgodilo v določeni situaciji.
- Optimizacija: Uporabljajo se za iskanje optimalne rešitve problema.
- Nadzor: Ohraniti nadzor nad organizacijo ali sistemom in določiti spremenljivke, ki jih je treba prilagoditi, da dobimo želene rezultate.