Poissonova porazdelitev je diskretna porazdelitev verjetnosti, ki na podlagi povprečne pogostosti pojavljanja teh dogodkov modelira pogostost nekaterih dogodkov v določenem časovnem intervalu.
Z drugimi besedami, Poissonova porazdelitev je diskretna porazdelitev verjetnosti, ki jo lahko poznamo le s poznavanjem dogodkov in njihove povprečne pogostosti pojavljanja.
Poissonov izraz porazdelitve
Glede na diskretno naključno spremenljivko X pravimo, da je njeno frekvenco mogoče zadovoljivo približati Poissonovi porazdelitvi, tako da:
Za razliko od običajne porazdelitve je Poissonova porazdelitev odvisna samo od enega parametra, mu (označeno z rumeno).
Mu poroča o pričakovanem številu dogodkov, ki se bodo zgodili v določenem časovnem intervalu. Ko govorimo o nečem "pričakovanem", ga moramo preusmeriti, da pomislimo na povprečje. Zato je mu srednja vrednost pogostosti dogodkov.
Tako povprečje kot varianca te porazdelitve sta zelo strogo pozitivna.
Zastopanje
Glede na Poissonovo porazdelitev s povprečjem 2 je porazdelitev gostote verjetnosti naslednja:
Funkcija je definirana samo za celoštevilčne vrednosti x.
Vse porazdelitve verjetnosti Poissonove gostote ne bodo videti enake, tudi če vzorec ostane enak. Če spremenimo srednjo vrednost, torej parameter, od katerega je funkcija odvisna, se bo spremenila tudi funkcija.
Funkcija gostote verjetnosti (pdf)
Ta funkcija se razume kot verjetnost, da naključna spremenljivka X sprejme določeno vrednost x. Je eksponent negativne sredine, pomnožen s sredino, ki je bila dvignjena na opazovanje, in vse deljeno s faktorijem opazovanja.
Kot smo že navedli, bomo morali vedeti verjetnost posameznega opazovanja nadomestiti vsa opazovanja v funkciji. Z drugimi besedami, x je vektor dimenzije n, ki vsebuje vsa opazovanja naključne spremenljivke X. Srednja vrednost bi bila tudi vektor, vendar ene dimenzije, tako da:
Ko dobimo izračunane verjetnosti, lahko skupaj z opazovanji narišemo porazdelitev gostote verjetnosti.
Zgodba
Ime te distribucije izvira iz njenega ustvarjalca Siméon-Denisa Poissona (1781-1840), francoskega matematika in filozofa, ki je želel modelirati pogostost dogodkov v določenem časovnem intervalu. Sodeloval je tudi pri izpopolnjevanju zakona velikih števil.
App
Poissonova porazdelitev se uporablja na področju operativnega tveganja za modeliranje situacij, v katerih pride do operativne izgube. V tržnem tveganju se Poissonov postopek uporablja za čakalne dobe med finančnimi transakcijami v visokofrekvenčnih zbirkah podatkov. Pri modeliranju števila stečajev se upošteva tudi kreditno tveganje.
Primer
Predvidevamo, da smo v zimski sezoni in želimo smučati pred decembrom. Verjetnost, da se bodo smučišča odprla pred decembrom, je 5-odstotna. Od 100 smučišč želimo vedeti verjetnost, da se bo najbližje smučišče odprlo pred decembrom. Ocena tega smučišča je 6 točk.
Vhodni podatki, potrebni za izračun funkcije verjetnosti Poissonove gostote, so nabor podatkov in mu:
- Nabor podatkov = 100 smučišč.
- Mu = 5% * 100 = 5 je pričakovano število smučišč glede na nabor podatkov.
Torej ima najbližja postaja 14,62% možnosti, da se bo odprla pred decembrom.
Verjetnost frekvence