Funkcionalne enačbe so tiste, ki imajo drugo funkcijo kot neznano. Funkcija, ki jo je mogoče povezati z algebrsko operacijo, kot so seštevanje, odštevanje, deljenje, množenje, potenca ali koren.
Tudi funkcijske enačbe lahko definiramo kot tiste, ki jih za njihovo ločljivost ni enostavno zmanjšati na algebraično funkcijo tipa f (x) = 0.
Funkcionalne enačbe so značilne, ker jih ni mogoče rešiti. Poleg tega ima lahko spremenljivka različne vrednosti (videli jo bomo s primeri).
Primeri funkcionalnih enačb
Nekaj primerov funkcionalnih enačb je:
f (xy) = f (x) .f (y)
f (x2+ in2) = f (xy)2/2
f (x) = f (x + 3) / x
V primerih, kot so prejšnji, lahko na primer dodamo, da x pripada množici realnih števil, to je x ∈ R (nič je mogoče izključiti).
Primeri funkcionalnih enačb
Oglejmo si nekaj primerov razrešenih funkcionalnih enačb:
f (1 / 2x) = x-3f (x)
Torej, če x zamenjam z 1 / 2x:
f (1/2 (1 / 2x)) = (1 / 2x) -3f (1 / 2x)
f (x) = (1 / 2x) -3f (1 / 2x)
f (x) = (1 / 2x) -3 (x-3f (x))
f (x) = (1 / 2x) -3x + 9f (x)
8f (x) = 3x- (1 / 2x)
f (x) = (3/8) x- (1/16x)
Zdaj pa poglejmo še en primer z malo več težavami, vendar kjer bomo nadaljevali na podoben način:
x2f (x) -f (5-x) = 3x… (1)
V tem primeru najprej rešimo za f (5-x)
f (5-x) = x2f (x) -3x… (2)
Zdaj v enačbi 1 zamenjam x s 5-x:
(5-x)2f (5-x) -f (5- (5-x)) = 3 (5-x)
(25-10x + x2) .f (5-x) -f (x) = 15-3x
Spomnimo se, da je f (5-x) v enačbi 2:
(25-10x + x2) (x2f (x) -3x) -f (x) = 15-3x
25x2-75x-10x3f (x) + 30x2+ x4f (x) -3x3-f (x) = 15-3x
f (x) (x4-10x3-1) = 3x3-55x2+ 72x
f (x) = (3x3-55x2+ 72x) / (x4-10x3-1)
Cauchyjeva funkcionalna enačba
Funkcija Cauchyja je ena najosnovnejših te vrste. Ta enačba ima naslednjo obliko:
f (x + y) = f (x) + f (y)
Ob predpostavki, da sta x in y v množici racionalnih števil, nam rešitev te enačbe pove, da je f (x) = cx, kjer je c katera koli konstanta, in enako se zgodi s f (y).