Funkcionalne enačbe - kaj je to, opredelitev in pojem

Funkcionalne enačbe so tiste, ki imajo drugo funkcijo kot neznano. Funkcija, ki jo je mogoče povezati z algebrsko operacijo, kot so seštevanje, odštevanje, deljenje, množenje, potenca ali koren.

Tudi funkcijske enačbe lahko definiramo kot tiste, ki jih za njihovo ločljivost ni enostavno zmanjšati na algebraično funkcijo tipa f (x) = 0.

Funkcionalne enačbe so značilne, ker jih ni mogoče rešiti. Poleg tega ima lahko spremenljivka različne vrednosti (videli jo bomo s primeri).

Primeri funkcionalnih enačb

Nekaj ​​primerov funkcionalnih enačb je:

f (xy) = f (x) .f (y)

f (x²+ in²) = f (xy)²/2

f (x) = f (x + 3) / x

V primerih, kot so prejšnji, lahko na primer dodamo, da x pripada množici realnih števil, to je x ∈ R (nič je mogoče izključiti).

Primeri funkcionalnih enačb

Oglejmo si nekaj primerov razrešenih funkcionalnih enačb:

f (1 / 2x) = x-3f (x)

Torej, če x zamenjam z 1 / 2x:

f (1/2 (1 / 2x)) = (1 / 2x) -3f (1 / 2x)

f (x) = (1 / 2x) -3f (1 / 2x)

f (x) = (1 / 2x) -3 (x-3f (x))

f (x) = (1 / 2x) -3x + 9f (x)

8f (x) = 3x- (1 / 2x)

f (x) = (3/8) x- (1/16x)

Zdaj pa poglejmo še en primer z malo več težavami, vendar kjer bomo nadaljevali na podoben način:

x²f (x) -f (5-x) = 3x… (1)

V tem primeru najprej rešimo za f (5-x)

f (5-x) = x²f (x) -3x… (2)

Zdaj v enačbi 1 zamenjam x s 5-x:

(5-x)²f (5-x) -f (5- (5-x)) = 3 (5-x)

(25-10x + x²) .f (5-x) -f (x) = 15-3x

Spomnimo se, da je f (5-x) v enačbi 2:

(25-10x + x²) (x²f (x) -3x) -f (x) = 15-3x

25x²-75x-10x³f (x) + 30x²+ x⁴f (x) -3x³-f (x) = 15-3x

f (x) (x⁴-10x³-1) = 3x³-55x²+ 72x

f (x) = (3x³-55x²+ 72x) / (x⁴-10x³-1)

Cauchyjeva funkcionalna enačba

Funkcija Cauchyja je ena najosnovnejših te vrste. Ta enačba ima naslednjo obliko:

f (x + y) = f (x) + f (y)

Ob predpostavki, da sta x in y v množici racionalnih števil, nam rešitev te enačbe pove, da je f (x) = cx, kjer je c katera koli konstanta, in enako se zgodi s f (y).