Neenakost Čebiševa je izrek, uporabljen v statistiki, ki zagotavlja konzervativno oceno (interval zaupanja) verjetnosti, da bo naključna spremenljivka s končno varianco na določeni razdalji od svojega matematičnega pričakovanja ali njegove srednje vrednosti.
Njegov formalni izraz je naslednji:
X = ocenjena vrednost
µ = Matematično pričakovanje ocenjene vrednosti
Ϭ = Standardni odklon pričakovane vrednosti
k = število standardnih odklonov
Izhajajoč iz tega splošnega izraza in razvijanja dela, ki ostane znotraj absolutne vrednosti, bi imeli naslednje:
Če smo pozorni na prejšnji izraz, je razvidno, da levi del ni večji od a interval zaupanja. To nam ponuja tako spodnjo kot zgornjo mejo za ocenjeno vrednost. Zato nam neenakost Čebišev govori o najmanjši verjetnosti, da je parameter populacije znotraj določenega števila standardnih odklonov nad ali pod srednjo vrednostjo. Ali drugače povedano, daje nam verjetnost, da je parameter populacije znotraj tega intervala zaupanja.
Neenakost Čebiševa daje približne meje za ocenjeno vrednost. Kljub določeni stopnji nepreciznosti je zelo koristen izrek, saj se lahko uporablja za širok spekter naključnih spremenljivk ne glede na njihovo porazdelitev. Edina omejitev, da lahko uporabimo to neenakost, je, da mora biti k večji od 1 (k> 1).
Matematična neenakostPrimer uporabe neenakosti Čebiševa
Recimo, da smo upravitelji investicijskega sklada. Portfelj, ki ga upravljamo, ima povprečno donosnost 8,14% in standardni odklon 5,12%. Če želite na primer vedeti, kolikšen odstotek naših donosov so vsaj trije standardni odmiki od povprečne donosnosti, bi preprosto uporabili prejšnjo formulo izraza 2.
k = 1,96
Nadomestitev vrednosti k: 1- (1 / (1,96 2)) = 0,739 = 73,9%
To pomeni, da je 73,9% rezultatov v intervalu zaupanja, ki se nahaja pri 1,96 standardnih odstopanjih od povprečja.
Naredimo prejšnji primer za vrednosti, ki niso k.
k = 2,46
k = 3
Nadomestitev vrednosti k: 1- (1 / (2,46 2)) = 0,835 = 83,5%
Nadomestitev vrednosti k: 1- (1 / (3 2)) = 0,889 = 88,9%
83,5% podatkov je na razdalji 2,46 standardnih odklonov od povprečja in 88,9% podatkov je znotraj 3 standardnih odklonov srednje vrednosti.
Z uporabo neenakosti Chebysheva je enostavno ugotoviti, da večja kot je vrednost K (večje je odstopanje ocenjene vrednosti od njene srednje vrednosti), večja je verjetnost, da je naključna spremenljivka znotraj omejenega intervala.
KurtozaIzrek o srednji mejiNeenakost