Bayesov izrek - kaj je to, opredelitev in koncept
Bayesov izrek se uporablja za izračun verjetnosti dogodka z vnaprejšnjimi informacijami o tem dogodku.
Verjetnost dogodka A lahko izračunamo, ob tem pa tudi vemo, da A izpolnjuje določeno značilnost, ki določa njegovo verjetnost. Bayesov izrek verjetnost razume obratno od izreka o celotni verjetnosti. Izrek o skupni verjetnosti sklepa o dogodku B na podlagi rezultatov dogodkov A. Bayes izračuna verjetnost A, pogojeno z B.
Bayesov izrek se je pogosto spraševal. Kar je bilo predvsem posledica njegove slabe uporabe. Ker so predpostavke disjunktorskih in izčrpnih dogodkov izpolnjene, je izrek popolnoma veljaven.
Formula Bayesovega izreka
Za izračun verjetnosti, kot jo je določil Bayes v tej vrsti dogodka, potrebujemo formulo. Formula je matematično definirana kot:
Kjer je B dogodek, o katerem imamo predhodne informacije, A (n) pa različni pogojeni dogodki. V delu števca imamo pogojno verjetnost, v spodnjem delu pa skupno verjetnost. V vsakem primeru, čeprav se zdi formula nekoliko abstraktna, je zelo preprosta. Za prikaz tega bomo uporabili primer, kjer bomo namesto A (1), A (2) in A (3) uporabili neposredno A, B in C.
Primer Bayesovega izreka
Podjetje ima tovarno v ZDA, ki ima tri stroje, A, B in C, ki proizvajajo posode za steklenice za vodo. Znano je, da stroj A proizvede 40% celotne količine, stroj B 30% in stroj C 30%. Znano je tudi, da vsak stroj proizvaja okvarjeno embalažo. Tako, da stroj A proizvede 2% okvarjenih paketov celotne proizvodnje, stroj B 3% in stroj C 5%. Kljub temu se pojavita dve vprašanji:
P (A) = 0,40 P (D / A) = 0,02
P (B) = 0,30 P (D / B) = 0,03
P (C) = 0,30 P (D / C) = 0,05
1. Kolikšna je verjetnost, da je posoda v okvari tovarne tega podjetja v ZDA?
Izračuna se skupna verjetnost. Ker na podlagi različnih dogodkov izračunamo verjetnost, da je napaka.
P (D) = (P (A) x P (D / A)) + (P (B) x P (D / B)) + (P (C) x P (D / C)) = (0, 4 x 0,02) + (0,3 x 0,03) + (0,3 x 0,05) = 0,032
Izraženi v odstotkih, bi rekli, da je verjetnost, da je posoda, ki jo proizvaja tovarna tega podjetja v ZDA, okvarjena 3,2%.
2. Če nadaljujemo s prejšnjim vprašanjem, če je posoda pridobljena in je v okvari, kakšna je verjetnost, da jo je izdelal stroj A?
Tu je uporabljen Bayesov izrek. Imamo predhodne informacije, torej vemo, da je embalaža okvarjena. Seveda, če vemo, da je okvarjen, želimo vedeti, kakšna je verjetnost, da ga je izdelal eden od strojev.
P (A / D) = (P (A) x P (D / A)) / P (D) = (0,40 x 0,02) / 0,032 = 0,25
P (B / D) = (P (B) x P (D / B)) / P (D) = (0,30 x 0,03) / 0,032 = 0,28
P (C / D) = (P (C) x P (D / C)) / P (D) = (0,30 x 0,05) / 0,032 = 0,47
Če vemo, da je posoda okvarjena, je verjetnost, da jo je izdelal stroj A, 25%, da jo je izdelal stroj B 28% in da jo je izdelal stroj C 47%.
