Razlika med konkavno in konveksno
Razliko med konkavno in konveksno lahko razložimo na naslednji način → Izraz konveksno se nanaša na dejstvo, da ima površina notranjo ukrivljenost, medtem ko bi bila vdolbina ukrivljena navzven.
Tako ga lahko opišemo na drug način. Osrednji del konveksne površine je bolj potlačen ali potlačen. Po drugi strani pa bi bil osrednji del, če bi bil konkaven, pomemben.
Za boljše razumevanje lahko navedemo nekaj primerov. Najprej klasični primer krogle, katere površina je konveksna. Če pa ga prerežemo na dva dela in obdržimo spodnjo polovico, bi imeli konveksen objekt z ugrezanjem (ob predpostavki, da je notranjost krogle prazna).
Drug primer konkave bi bila gora, saj je pomembna glede na zemeljsko površje. Nasprotno, vodnjak je konkaven, saj vstop vanj pomeni pogrezanje pod nivojem zemeljske površine.
Upoštevati je treba tudi, da je treba pri opredelitvi predmeta upoštevati tudi konkavno ali konveksno perspektivo. Tako je jušna plošča, na primer, ko je pripravljena za postrežbo, konveksna, ima povešenost. Če pa ga obrnemo, bo plošča konkavna.
Če na primer analiziramo parabole, so konveksne, če imajo U-obliko, konkavne pa, če imajo obrnjeno U-obliko.
Konkavne in konveksne funkcije
Če je drugi odvod funkcije v točki manjši od nič, je funkcija v tej točki konkavna. Po drugi strani pa, če je večja od nič, je na tej točki konveksna. Zgornje lahko izrazimo na naslednji način:
Če je f »(x) <0, f (x), je konkavna.
Če je f »(x)> 0, je f (x) konveksno.
Na primer, v enačbi f (x) = x2+ 5x-6, lahko izračunamo njegovo prvo izpeljavo:
f '(x) = 2x + 5
Nato najdemo drugo izpeljanko:
f »(x) = 2
Ker je torej f »(x) večje od 0, je funkcija konveksna za vsako vrednost x, kot vidimo na spodnjem grafu:
Zdaj pa poglejmo primer te druge funkcije: f (x) = - 4x2+ 7x + 9.
f '(x) = - 8x + 7
f »(x) = - 8
Ker je torej drugi odvod manjši od 0, je funkcija za vsako vrednost x konkavna.
Zdaj pa poglejmo naslednjo enačbo: -5 x3+ 7x2+5 x-4
f '(x) = - 15x2+ 14x + 5
f »(x) = - 30x + 14
Drugi odvod nastavimo na nič:
-30x + 14 = 0
x = 0,4667
Torej, kadar je x večji od 0,4667, je f »(x) večji od nič, zato je funkcija konveksna. Če je x manj kot 0,4667, je funkcija konkavna, kot vidimo na spodnjem grafu:
Konveksni in konkavni mnogokotnik
Konveksni mnogokotnik je tisti, pri katerem je mogoče združiti dve njegovi točki in narisati ravno črto, ki ostane znotraj slike. Prav tako so njegovi notranji koti manjši od 180 °.
Po drugi strani pa je konkavni mnogokotnik tisti, kjer je za združitev dveh njegovih točk treba narisati ravno črto, ki je zunaj slike, to je zunanja diagonala, ki povezuje dve točki. Poleg tega je vsaj en njen notranji kot večji od 180 °.
Primerjavo lahko vidimo na spodnji sliki:
