Centralni mejni izrek (TCL) je statistična teorija, ki pravi, da bo glede na dovolj velik naključni vzorec populacije porazdelitev vzorčnih sredstev sledila običajni porazdelitvi.
Poleg tega TCL navaja, da se bo s povečanjem velikosti vzorca povprečje vzorca približalo povprečju populacije. Zato lahko s pomočjo TCL z znano varianco določimo porazdelitev vzorčne sredine določene populacije. Torej bo porazdelitev sledila običajni porazdelitvi, če je velikost vzorca dovolj velika.
Glavne lastnosti centralnega mejnega izreka
Izrek o osrednji meji ima na statističnem in verjetnostnem področju vrsto zelo uporabnih lastnosti. Glavni so:
- Če je velikost vzorca dovolj velika, bo porazdelitev vzorca približno sledila običajni porazdelitvi. TCL šteje vzorec za velik, če je njegova velikost večja od 30. Torej, če je vzorec večji od 30, bo imela vzorec srednja funkcija porazdelitve blizu običajne. In to velja ne glede na obliko distribucije, s katero sodelujemo.
- Povprečna vrednost populacije in povprečna vrednost vzorca bosta enaki. To pomeni, da bo srednja vrednost porazdelitve vseh vzorčnih sredstev enaka srednji vrednosti celotne populacije.
- Variacija porazdelitve vzorčnih sredin bo σ² / n. Katera je varianca populacije, deljena z velikostjo vzorca.
To, da porazdelitev vzorca pomeni, da je podobna običajni, je izredno koristno. Ker je normalno razporeditev zelo enostavno uporabiti za izvajanje testov hipotez in gradnjo intervalov zaupanja. V statistiki je zelo pomembno, da je porazdelitev običajna, saj mnogi statistični podatki zahtevajo takšno distribucijo. Poleg tega nam bo TCL omogočil sklepati o povprečju populacije skozi vzorec povprečja. In to je zelo koristno, kadar zaradi pomanjkanja sredstev ne moremo zbirati podatkov celotne populacije.
Primer osrednjega izrek meje
Predstavljajmo si, da želimo analizirati zgodovinske povprečne donose indeksa S&P 500, v katerem je, kot vemo, približno 500 podjetij. Vendar nimamo dovolj informacij za analizo vseh 500 podjetij v indeksu. V tem primeru bi bila povprečna donosnost S&P 500 povprečje prebivalstva.
Zdaj lahko po TCL vzamemo vzorec teh 500 podjetij za izvedbo analize. Edina omejitev, ki jo imamo, je, da mora biti v vzorcu več kot 30 družb, da se lahko izrek izpolni. Predstavljajmo si torej, da naključno izberemo 50 podjetij iz indeksa in postopek večkrat ponovimo. V primeru bi morali slediti naslednjim korakom:
- Izberemo vzorec približno 50 podjetij in dobimo povprečno donosnost celotnega vzorca.
- Nenehno izbiramo 50 podjetij in dosežemo povprečno donosnost.
- Porazdelitev vseh povprečnih donosov vseh izbranih vzorcev bo približno normalna porazdelitev.
- Povprečni donosi vseh izbranih vzorcev bodo približni povprečnim donosi celotnega indeksa. Kot kaže centralni mejni izrek.
Zato se lahko na podlagi sklepanja iz povprečne donosnosti vzorca približamo povprečni donosnosti indeksa.