Gauss-Markov teorem je sklop predpostavk, ki jih mora izpolnjevati ocenjevalec OLS (redni najmanjši kvadrati), da ga lahko štejemo za ELIO (Optimal Linear Unbiated Estimator). INizrek Gauss-Markov sta oblikovala Carl Friederich Gauss in Andrej Markov.
Carl Friederich Gauss in Andréi Márkov sta določila nekaj predpostavk, da bi lahko ocenjevalec OLS postal ELIO.
Če je teh 5 predpostavk izpolnjenih, lahko trdimo, da je ocenjevalec tisti z najmanjšo varianco (najbolj natančno) vseh linearnih in nepristranskih ocenjevalcev. V primeru, da katera od predpostavk prvih treh ne uspe (Linearnost, Null povprečna stroga eksogenost ali Brez popolne multikolinearnosti), ocenjevalnik OLS ni več nepristranski. Če odpove samo 4 ali 5 (homoscedastičnost in brez avtokorelacije), je ocenjevalec še vedno linearen in nepristranski, vendar ni več najbolj natančen. Če povzamemo, Gauss-Markov teorem navaja, da:
- Po predpostavkah 1, 2 in 3 je ocenjevalnik OLS linearen in nepristranski. Zdaj, dokler niso izpolnjene prve tri predpostavke, je mogoče zagotoviti, da je ocenjevalec nepristranski. Da bi bil ocenjevalec dosleden, moramo imeti velik vzorec, več kot bolje.
- Po predpostavkah 1, 2, 3, 4 in 5 je ocenjevalnik OLS linearni, nepristranski in optimalen (ELIO).
Predpostavke Gauss-Markovega izreka
Natančneje obstaja 5 predpostavk:
1. Linearni model v parametrih
To je dokaj prožna predpostavka. Omogoča uporabo funkcij zanimivih spremenljivk.
2. Nična srednja in stroga eksogenost
To pomeni, da je srednja vrednost napake, pogojena z razlagami, enaka brezpogojni pričakovani vrednosti in enaka nič. Poleg tega stroga eksogenost zahteva, da napake modela niso povezane z opazovanji.
Nična srednja vrednost:
Stroga eksogenost:
Nična srednja in stroga eksogenost ne uspeta, če:
- Model je slabo določen (na primer opustitev ustreznih spremenljivk).
- V spremenljivkah so merilne napake (podatki niso bili pregledani).
- V časovnih vrstah stroga eksogenost ne uspe v modelih z zapoznelo endogenostjo (čeprav lahko obstaja eksogenost hkrati) in v primerih, ko obstajajo povratni učinki.
V presečnih podatkih je veliko lažje doseči predpostavko eksogenosti kot v primeru časovnih vrst.
3. Brez natančne multikolinearnosti
V vzorcu nobena od razlagalnih spremenljivk ni konstantna. Med pojasnjevalnimi spremenljivkami ni natančnih linearnih razmerij. Ne izključuje neke (ne popolne) korelacije med spremenljivkami. Po mnenju Gaussa in Markova je model, ki ima natančno multikolinearnost, običajno posledica napake analitika.
4. Homoscedastičnost
Variacija napake in s tem Y ni odvisna od pojasnjevalnih vrednosti in poleg tega variance konstantne napake. Matematično je izraženo kot:
Tu je vrsta podatkov s homoscedastičnim videzom.
5. Brez avtokorelacije
Pogoji napake dveh različnih opažanj, pogojenih z X, niso povezani. Če je vzorec naključen, avtokorelacije ne bo.
Kjer moram imeti vrednost, drugačno od h. Če je vzorec naključen, bodo podatki in napake opazovanja "i" in "h" neodvisni za kateri koli par opazovanj "i" in "h".
