Paradoks v Sankt Peterburgu je paradoks, ki ga je opazil Nicolaus Bernoulli in ima svoj razlog za igranje iger na srečo. Ta paradoks nam govori, da so v teoriji odločanja sprejete vse stave, ne glede na njihovo vrednost, četudi nam ta vrednost kaže, da to ni racionalna odločitev.
Peterburški paradoks, da smo ga pravilno razumeli, je bil paradoks, ki ga je po opazovanju iger na srečo opisal Nicolaus Bernoulli, zato ta paradoks obstaja.
Teorija igerV tem smislu nam paradoks govori, da nam teorija formuliranih odločitev kaže, da je racionalna odločitev v stavni igri vse, ne glede na znesek, ki ga predvideva posamezna stava. Vendar s pravilno analizo te situacije in natančnim upoštevanjem teorije opažamo, da se nobeno racionalno bitje ne bi odločilo, da bo stavilo denarno količino blizu neskončnosti, čeprav teorija kaže, da je racionalna. Iz tega razloga nastane paradoks.
Sprva paradoks opazi Nicolaus Bernoulli, kot se kaže v pismu, ki ga je 9. septembra 1713 poslal Pierru de Montmortu, francoskemu aristokratu in matematiku.
Ker pa Nicolausova študija ni prinesla rezultatov, je paradoks predstavil svojemu bratrancu Danielu Bernoulliju leta 1715, matematiku nizozemskega porekla in rektorju univerze v Baslu, ki se je v Sankt Peterburgu srečal z ugledno skupino znanstvenikov in po leta raziskav, ki je leta 1738 objavil nov sistem merjenja v svojem delu "Izpostavitev nove teorije pri merjenju tveganj".
Model, ki ga je predlagal Daniel, za razliko od tistega, ki ga je predlagal Nicolaus, postavlja temelje za tisto, kar bi kasneje izboljšalo in dopolnilo teorijo pričakovane uporabnosti.
Formula paradoksov v Sankt Peterburgu
Formulacija, ki jo je Nicolaus Bernoulli predlagal svojemu bratrancu in Pierru de Montmortu, je naslednja:
Predstavljajmo si igro na srečo, pri kateri mora igralec očitno plačati znesek za sodelovanje.
Recimo, da igralec stavi na repove in kovanec zapored vrže do konca. Po repih se igra ustavi in igralec dobi $ 2 n.
Če torej repi, igralec najprej zmaga 2 1, kar je 2 $. Če pa spet repi, bo dobil 2 2, kar je 4 USD, itd. Če se bo spet pojavil, bo 8 dolarjev, kar ustreza 2 3; Če bo izšla četrtič, bo nagrada znašala 16 dolarjev, kar predstavlja reprezentanco 2 4.
Tako je bilo Nicolausovo vprašanje naslednje: ob upoštevanju zgoraj omenjenega zaporedja in dobička, koliko bi bil igralec pripravljen plačati za to igro, ne da bi pri tem izgubil racionalnost?
Primer paradoksa v Sankt Peterburgu
Glede na formulacijo, ki jo je predlagal Nicolaus, in na dvom, ki ga je postavil francoskemu matematiku in njegovemu bratrancu, poglejmo razlog za ta paradoks, na primer, da razumemo, kaj mislimo.
Najprej moramo vedeti, da imamo pred začetkom igre neskončno število možnih izidov. No, tudi če je verjetnost 1/2, se repi morda ne bodo pojavili do 8. zavoja.
Zato je verjetnost, da se ta križ pojavi na metu k, naslednja:
Pk = 1 / 2k
Tudi dobiček je 2k.
Nadaljujemo z razvojem, prvi repi na prvem zvitku predstavljajo dobiček 21 (2 USD) in verjetnost 1/2. Repi v 2. poskusu imajo dobiček 22 (4 dolarje) in verjetnost 1/22; če ima igralec v tretjem poskusu zmago 23 (8 USD) in verjetnost 1/23. Kot lahko vidimo, odnos, ki se razteza, dokler dodajamo teče.
Pred nadaljevanjem je treba opozoriti, da v teoriji odločanja imenujemo matematično pričakovanje (EM) ali pričakovano zmago v igri, vsoto nagrad, povezano z vsakim možnim rezultatom igre, in vse tehtane s verjetnost, da se bo zgodil vsak od teh izidov.
Če upoštevamo pristop, ki kaže ta paradoks, vidimo, da je pri igranju verjetnost dobitka 2 dolarjev 1/2, poleg tega pa je verjetnost dobitka 4 1/4, medtem ko je verjetnost dobitka 8 dolarjev enaka 1/8. To je, dokler ne dosežemo situacij, kot je zmaga 64 dolarjev, verjetnost v tem primeru je 1/64.
Če torej izračunamo matematično pričakovanje ali tisto, kar poznamo kot pričakovano zmago v igri, moramo tem rezultatom dodati dobitke vseh možnih izidov, tehtanih z verjetnostjo njihovega nastopa, tako da nam rezultat pokaže neskončnost vrednost.
Če sledimo teoriji izbire, nam pove, da bi morali staviti kakršen koli znesek za preprosto dejstvo, da je vsaka odločitev za nas ugodna. Dejstvo, da gre za paradoks, je, ker igralec racionalno ne bo stavil neomejeno, četudi ga k temu spodbuja teorija.
Izrazit paradoks
Številni matematiki so skušali razvozlati paradoks, ki ga je predlagal Bernoulli, vendar je tudi veliko takih, ki ga niso mogli rešiti.
Tako obstajajo številni primeri, ki nam kažejo, kako so paradoks skušali razrešiti matematiki, ki so obravnavali tako strukturo igre kot tudi odločitve posameznikov samih. Vendar do danes še vedno ne najdemo veljavne rešitve.
In to je, da bi dobili idejo o zapletenosti tega paradoksa, ob upoštevanju teorije izbire v tem primeru, kot možno nagrado po izračunu predpostavimo neskončno število kovancev, ki tudi ob predpostavki, da je to mogoče, bi bil nezdružljiv s samim denarnim sistemom, saj gre za denar, ki je v nasprotju s paradoksom omejen.
