Set algebra - kaj je to, definicija in koncept

Algebra množic je področje študija znotraj matematike in logike, osredotočeno na operacije, ki jih je mogoče izvajati med nizi.

Algebra množic je del tega, kar poznamo kot teorijo množic.

Ne smemo pozabiti, da je niz združevanje elementov različnih vrst, kot so črke, številke, simboli, funkcije, geometrijske figure, med drugim.

Nastavite operacije

Glavne operacije z nizi so naslednje:

Unije: Združitev dveh ali več nizov vsebuje vse elemente, ki pripadajo vsaj enemu od teh sklopov. Označena je s črko U.

A = (9,34,57,6,9)

B = (10,41,57,9,16)

AUB = (9,34,57,6,9,10,41,16)

Križišče: Presečišče dveh ali več nizov vključuje elemente, ki si jih delijo ti nizi. Označuje ga obrnjen U (∩). Primer:

A = (a, r, t, i, c, o)

B = (i, n, d, i, c, o)

A∩B = (i, c, o)

Razlika: Razlika enega niza glede na drugega je enaka elementom prvega niza minus elementi drugega. Označena je s simbolom ali -. Gledano drugače, x ∈ a A B, če je x ∈ A, vendar x ∉ B. Primer:

A = (21,34,56,17,7)

B = (78,21,17,36,80)

A-B = (34,56,7)

Dopolnitev: Dopolnilo nabora vključuje vse elemente, ki niso v tem naboru (vendar spadajo v drug univerzalni referenčni niz). Označena je z nadpisom C. Primer:

A = (3,9,12,15,18)

U (Vesolje) = Vsi večkratniki 3, ki so cela naravna števila, manjša od 30.

TO^C=(6,21,24,27)

Simetrična razlika: Simetrična razlika dveh nizov vključuje vse elemente, ki so v enem ali drugem, ne pa oba hkrati. To pomeni, da gre za združitev množic minus njihovo presečišče. Njegov simbol je Δ. Primer:

A = (17.81.99.131.65.32)

B = (11.54.71.65.99.27)

AΔB = (17,81,131,32,11,54,71,27)

Dekartov izdelek: Gre za operacijo, ki ima za posledico nov niz, ki kot elemente vsebuje urejene pare ali sklope (urejene serije) elementov, ki pripadajo dvema ali več sklopom. Urejeni so pari, če gre za dva niza, in kompleti, če imamo več kot dva niza. Primer:

A = (8,15,6,51)

B = (x, y)

AxB = ((8, x), (8, y), (15, x), (15, y), (6, x), (6, y), (51, x), (51, y) )

BxA = ((x, 8), (x, 15), (x, 6), (x, 51), (y, 8), (y, 15), (y, 6), (y, 51) )

Zakoni postavljene algebre

Zakoni množicne algebre so naslednji:

Idempotentnost: Povezava ali presečišče množice s seboj povzroči isti niz:

XUX = X

X∩X = X

Komutativno: Vrstni red faktorjev ne spremeni rezultata pri iskanju zveze ali presečišča množic:

XUY = XUY

X∩Y = X∩Y

Distributivni: Zveza množice X s presečiščem drugih dveh množic Y in Z je enaka presečišču zveze X in Y z zvezo X in Z. To je:

XU (Y∩Z) = (XUY) ∩ (XUZ)

Poleg tega enako velja, če obrnemo vrstni red operacij:

X∩ (YUZ) = (X∩Y) U (X∩Z)

Združenje: Izraze združevanja ali presečišča več nizov lahko nerazločno razvrstimo in dobimo vedno enak rezultat:

XU (XUY) = (XUY) UZ

X∩ (X∩Y) = (X∩Y) ∩Z

Morganov zakon: Dopolnilo zveze dveh sklopov je enako presečišču njihovih dopolnil, dopolnilo presečišča dveh sklopov pa je enako združevanju njihovih dopolnil.

(XUY)^C= X^C.Y^C

(X∩Y)^C= X^CUj^C

Različni zakoni: Razlika enega niza glede na drugega je enaka presečišču prvega in komplementa drugega:

(X-Y) = X∩Y^C

Dopolnilni zakoni:
- Zveza množice s svojim dopolnilom ni enaka univerzalni množici. XUX^C= U
- Presečišče množice z njenim dopolnilom je enako ničelni ali prazni množici. X∩X^C=∅
- Dopolnilo komplementa množice X je enako množici X. (X^C)^C= X
- Dopolnilo univerzalnega niza je enako ničnemu ali praznemu nizu. X^C=∅
- Dopolnilo praznega niza je enako univerzalnemu nizu. ∅^C= U