Matematično pričakovanje naključne spremenljivke X je število, ki izraža srednjo vrednost pojava, ki ga predstavlja ta spremenljivka.
Matematično pričakovanje, imenovano tudi pričakovana vrednost, je enako vsoti verjetnosti obstoja naključnega dogodka, pomnoženi z vrednostjo naključnega dogodka. Z drugimi besedami, to je srednja vrednost nabora podatkov. To ob upoštevanju, da je izraz matematično pričakovanje skovan s teorijo verjetnosti.
V matematiki se povprečna vrednost dogodka, ki se je zgodil, imenuje matematična sredina. V diskretnih porazdelitvah z enako verjetnostjo v vsakem primeru je aritmetična sredina enaka matematičnim pričakovanjem.
Primer matematičnega pričakovanja
Poglejmo preprost primer, da ga razumemo.
Predstavljajmo si kovanec. Dve glavi, glave in repi. Kakšno bi bilo matematično pričakovanje (pričakovana vrednost), da bo prišlo ven?
Matematično pričakovanje bi izračunali kot verjetnost, da bo z zelo velikim številom premikov kovanca prišel na glavo.
Ker lahko kovanec pristane samo v enem od teh dveh položajev in imata oba enako verjetnost, da bo prišel ven, bomo rekli, da je matematično pričakovanje, da bo prišel ven, ena od dveh ali kar je enako, 50% čas.
Naredili bomo test in kovanec bomo 10-krat obrnili. Recimo, da je kovanec popoln.
Vrtenja in rezultat:
- Drage.
- Križ.
- Križ.
- Drage.
- Križ.
- Drage.
- Drage.
- Drage.
- Križ.
- Križ.
Kolikokrat je bilo glav (štejemo C-je)? 5-krat Kolikokrat so se repi odšteli (štejemo X-je)? 5-krat. Verjetnost, da boste glava, bo 5/10 = 0,5 ali v odstotkih 50%.
Ko se dogodek zgodi, lahko izračunamo matematično sredino števila dogodkov. Draga stran se je pojavila vsaka dvakrat, to je 50% časa. Srednja vrednost ustreza matematičnim pričakovanjem.
Izračun matematičnega pričakovanja
Matematično pričakovanje se izračuna z uporabo verjetnosti posameznega dogodka. Formula, ki formalizira ta izračun, je navedena takole:
Kje:
- X = vrednost dogodka.
- P = Verjetnost, da se zgodi.
- jaz = Obdobje, v katerem se zgodi ta dogodek.
- N = Skupno število obdobij ali opazovanj.
Verjetnost dogodka ni vedno enaka kot pri kovancih. Obstaja nešteto primerov, v katerih je verjetneje, da se bo en dogodek pojavil kot drugi. Zato uporabljamo P. V formuli moramo pri izračunu matematičnih števil tudi pomnožiti z vrednostjo dogodka. Spodaj vidimo primer.
Za kaj se uporablja matematično pričakovanje?
Matematično pričakovanje se uporablja v vseh tistih disciplinah, pri katerih je prisotnost verjetnostnih dogodkov zanje neločljiva. Discipline, kot so teoretična statistika, kvantna fizika, ekonometrija, biologija ali finančni trgi. Veliko število procesov in dogodkov, ki se dogajajo v svetu, je netočnih. Jasen in lahko razumljiv primer je primer borze.
Na borzi se vse izračuna na podlagi pričakovanih vrednosti Zakaj pričakovane vrednosti? Ker upamo, da se bo zgodilo, vendar tega ne moremo potrditi. Vse temelji na verjetnostih in ne na gotovostih. Če je pričakovana vrednost ali matematično pričakovanje donosa sredstva 10% na leto, to pomeni, da bo na podlagi informacij iz preteklosti najverjetneje donos znova 10%. Če seveda upoštevamo le matematična pričakovanja kot način odločanja o naložbah.
V teorijah finančnega trga mnogi uporabljajo ta koncept matematičnega pričakovanja. Med temi teorijami je tudi tista, ki jo je Markowitz razvil na učinkovitih denarnicah.
V številkah, ki poenostavljajo veliko, predpostavimo, da so donosi finančnega sredstva naslednji:
Dobičkonosnost v 1., 2., 3. in 4. letu.
- 12%.
- 6%.
- 15%
- 12%
Pričakovana vrednost bi bila vsota donosov, pomnožena z njihovo verjetnostjo, da se zgodi. Verjetnost, da se bo vsaka dobičkonosnost "zgodila", je 0,25. Imamo štiri opažanja, štiri leta. Vsako leto imajo enako verjetnost, da se ponovijo.
Upanje = (12 x 0,25) + (6 x 0,25) + (15 x 0,25) + (12 x 0,25) = 3 + 1,5 + 3,75 + 3 = 11,25%
Ob upoštevanju teh informacij bomo rekli, da je pričakovanje donosa sredstva 11,25%.
Pričakovana življenjska doba