Kombinacijski brez ponovitve

Kombinatoriko brez ponavljanja razumemo kot različne sklope, ki jih lahko tvorimo z «n» elementi, izbranimi izmed x v x. Vsak sklop se mora od prejšnjega razlikovati vsaj v enem od svojih elementov (vrstni red ni pomemben) in teh ni mogoče ponoviti.

Kombinatorika brez ponavljanja je v splošni uporabi v statistiki in matematiki. To ustreza številnim resničnim življenjskim situacijam in njegova uporaba je zelo enostavna.

Vzemimo za primer študenta, ki ima izpit s 4 vprašanji. Med štirimi vprašanji mora izbrati tri, koliko različnih kombinacij bi študent lahko naredil? Če malo razmislimo, bi videli (ne da bi dejansko uporabili formulo), da bi se študent lahko odločil, kako bo na tri vprašanja odgovoril na štiri različne načine.

• Komplet / možnost 1: Odgovorite na vprašanja 1,2,3.
• Komplet / možnost 2: Odgovorite na vprašanja 1,2,4.
• Komplet / možnost 3: Odgovorite na vprašanja 1,3,4.
• Komplet / možnost 4: Odgovorite na vprašanja 2,3,4.

Kot lahko vidimo, študent lahko oblikuje 4 sklope (n) iz 3 elementov (x). Zato nam kombinatorika brez ponavljanja pove, kako oblikovati ali razvrstiti končno količino podatkov / opazovanj v skupine določene količine, ne da bi se kateri od elementov lahko ponovil v vsaki skupini. To je glavna razlika med kombinacijo s ponovitvijo (elemente v vsaki skupini je mogoče ponoviti) in kombinacijo brez ponovitve (nobenega elementa ni mogoče ponoviti v vsaki skupini)

V tem primeru poudarimo, da gre za kombinatoriko brez ponavljanja, saj študent ne more večkrat postaviti nobenega vprašanja. Zato elementov nizov ni mogoče ponoviti.

V prejšnjem primeru je glede na to, da je skupno število elementov majhno in je količina nabora velika, število možnosti majhno in ga je mogoče enostavno ugotoviti brez uporabe formule. V primeru neposredne uporabe formule bi bil števec 24 (4 * 3 * 2 * 1), imenovalec pa 6 (3 * 2 * 1 * 1), s čimer bi prišli do izračuna na enak način ne da bi razmišljali o tem, kako bi lahko ta štiri vprašanja razvrstili v tri sklope.

Kako izračunati kombinatoriko brez ponavljanja?

Formula kombinacije brez ponovitve je:

Kje:

• n = Skupna opazovanja
• x = Število izbranih elementov

Primer kombinatorno brez ponavljanja

Predstavljajmo si vojaški vod 12 vojakov. Vojaški kapitan želi oblikovati skupine po 2 vojaka, ki se bodo infiltrirali za sovražnikovo črto na različnih točkah, koliko različnih skupin bi lahko oblikoval?

Da bi rešili težavo, moramo najprej ugotoviti skupno število elementov. V tem primeru je skupaj 12 vojakov, zato že imamo n. Ker kapetan želi skupine po 2, že vemo, kakšen je naš x. Če vemo to, lahko v formuli nadomestimo in imamo število kombinacij skupin 2.

• n = 12
• x = 2

Pri zamenjavi:

Z uporabo faktorja za imenovalec bi imeli 12 * 11 * 10 * … * 1 = 479.001.600. Za imenovalec imamo 2 * 1 * 10 * 9 * 8… * 1 = 7.257.600. Naše kombinacijsko število je = 479,001.600 / 7.257.600 = 66.

Kot lahko vidimo, lahko kapitan med 12, ki jih ima, oblikuje 66 različnih parov vojakov.