Linearna kombinacija vektorjev
Linearna kombinacija vektorjev se pojavi, kadar lahko vektor izrazimo kot linearna funkcija drugih vektorjev, ki so linearno neodvisni.
Z drugimi besedami, linearna kombinacija vektorjev je, da lahko vektor izrazimo kot linearno kombinacijo drugih vektorjev, ki so linearno neodvisni drug od drugega.
Zahteve za linearno kombinacijo vektorjev
Linearna kombinacija vektorjev mora izpolnjevati dve zahtevi:
- Da lahko vektor izrazimo kot linearno kombinacijo drugih vektorjev.
- Naj bodo ti drugi vektorji linearno neodvisni drug od drugega.
Linearna kombinacija v računanju
V osnovni matematiki smo navajeni pogosto videti linearne kombinacije, ne da bi se tega zavedali. Na primer, vrstica je kombinacija ene spremenljivke glede na drugo, tako da:
Toda korenine, logaritmi, eksponentne funkcije … niso več linearne kombinacije, saj deleži ne ostanejo konstantni za celotno funkcijo:
Torej, če govorimo o linearni kombinaciji vektorjev, bo imela struktura enačbe naslednjo obliko:
Ker govorimo o vektorjih in se prejšnja enačba nanaša na spremenljivke, moramo za gradnjo kombinacije vektorjev spremenljivke nadomestiti le z vektorji. Naj bodo naslednji vektorji:
Torej jih lahko zapišemo kot linearno kombinacijo, kot sledi:
Vektorji so linearno neodvisni drug od drugega.
Grško pismo lambda deluje kot parameter m v splošni enačbi premice. Lambda bo katero koli realno število in, če se ne pojavi, naj bi bila njegova vrednost enaka 1.
To, da so vektorji linearno neodvisni, pomeni, da nobenega od vektorjev ni mogoče izraziti kot linearno kombinacijo drugih. Znano je, da neodvisni vektorji tvorijo osnovo prostora in temu prostoru pripada tudi odvisni vektor.
Primer paralelepipeda
Predvidevamo, da imamo tri vektorje in jih želimo izraziti kot linearno kombinacijo. Vemo tudi, da vsak vektor prihaja iz iste točke in predstavlja absciso te točke. Geometrijska figura je paralelepiped. Ker nas obveščajo, da je geometrijska figura, ki jo tvorijo ti vektorji, abscisa paralelepipeda, potem vektorji razmejujejo obraze figure.
Najprej moramo vedeti, ali so vektorji linearno odvisni. Če so vektorji linearno odvisni, potem iz njih ne moremo oblikovati linearne kombinacije.
Trije vektorji:
Kako lahko vemo, ali so vektorji linearno odvisni, če nam ne dajo informacij o svojih koordinatah?
No, z uporabo logike. Če bi bili vektorji linearno odvisni, bi se vse ploskve paralelepipeda zrušile. Z drugimi besedami, bili bi enaki.
Zato lahko izrazimo nov vektor w kot rezultat linearne kombinacije prejšnjih vektorjev:
Vektor, ki predstavlja kombinacijo prejšnjih vektorjev:
Grafično:
