Serija Taylor - kaj je to, opredelitev in koncept

Serija Taylor je vrsta moči, ki se razteza v neskončnost, kjer je vsak dodatek dvignjen na stopnjo, večjo od prejšnje.

Vsak element Taylorjeve serije ustreza n-ti izpeljavi funkcije f, ovrednoteni v točki a, med faktorijem n (n!), In vse to, pomnoženo z x-a, dvignjeno na stopnjo n.

V formalnem ali matematičnem smislu ima Taylorjeva vrsta naslednjo obliko:

Za boljše razumevanje Taylorjeve serije moramo upoštevati, da je a točka na premici, ki se dotika funkcije f. Omenjeno črto lahko nato izrazimo kot linearno funkcijo, katere naklon je enak naklonu kot funkcija f v točki a.

Upoštevati je treba še en vidik, da je f diferencirana funkcija n-krat v točki a. Če je n neskončnost, je to neskončno diferencirana funkcija.

V določenem primeru, ko je a = 0, se serija imenuje tudi serija McLaurin.

Razlika med serijami in Taylorjevim polinomom

Razlika med nizoma in Taylorjevim polinomom je v tem, da v prvem primeru govorimo o neskončnem zaporedju, v drugem pa o končnem nizu.

Tako lahko Taylorjev polinom definiramo kot polinomski približek funkcije n-krat diferenciabilne na določeni točki (a).

Primeri Taylorjeve serije

Nekaj ​​primerov različic Taylorjeve serije je:

• Eksponentna funkcija:

• Trigonometrične funkcije:

Aplikacije za serijo Taylor

Nekatere aplikacije serije Taylor so:

• Analiza meja.
• Analiza mirujočih točk ali točk stola v funkcijah.
• Uporaba v L'Hopitalovem izreku (za reševanje omejitev).
• Celovita ocena.
• Ocena konvergenc in razhajanj nekaterih serij.
• Analiza finančnih sredstev in proizvodov, kadar je cena izražena kot nelinearna funkcija.