Serija Taylor je vrsta moči, ki se razteza v neskončnost, kjer je vsak dodatek dvignjen na stopnjo, večjo od prejšnje.
Vsak element Taylorjeve serije ustreza n-ti izpeljavi funkcije f, ovrednoteni v točki a, med faktorijem n (n!), In vse to, pomnoženo z x-a, dvignjeno na stopnjo n.
V formalnem ali matematičnem smislu ima Taylorjeva vrsta naslednjo obliko:
Za boljše razumevanje Taylorjeve serije moramo upoštevati, da je a točka na premici, ki se dotika funkcije f. Omenjeno črto lahko nato izrazimo kot linearno funkcijo, katere naklon je enak naklonu kot funkcija f v točki a.
Upoštevati je treba še en vidik, da je f diferencirana funkcija n-krat v točki a. Če je n neskončnost, je to neskončno diferencirana funkcija.
V določenem primeru, ko je a = 0, se serija imenuje tudi serija McLaurin.
Razlika med serijami in Taylorjevim polinomom
Razlika med nizoma in Taylorjevim polinomom je v tem, da v prvem primeru govorimo o neskončnem zaporedju, v drugem pa o končnem nizu.
Tako lahko Taylorjev polinom definiramo kot polinomski približek funkcije n-krat diferenciabilne na določeni točki (a).
Primeri Taylorjeve serije
Nekaj primerov različic Taylorjeve serije je:
- Eksponentna funkcija:
- Trigonometrične funkcije:
Aplikacije za serijo Taylor
Nekatere aplikacije serije Taylor so:
- Analiza meja.
- Analiza mirujočih točk ali točk stola v funkcijah.
- Uporaba v L'Hopitalovem izreku (za reševanje omejitev).
- Celovita ocena.
- Ocena konvergenc in razhajanj nekaterih serij.
- Analiza finančnih sredstev in proizvodov, kadar je cena izražena kot nelinearna funkcija.
