Prevojna točka matematične funkcije je tista točka, na kateri graf, ki jo predstavlja, spremeni svojo konkavnost. To pomeni, da gre od konkavne do konveksne ali obratno.
Z drugimi besedami, prevojna točka je tisti trenutek, ko funkcija spremeni trend.
Da bi dobili idejo, začnimo tako, da jo približno pogledamo v grafični predstavitvi:
Treba je opozoriti, da ima funkcija lahko več kot eno prevojno točko ali pa je sploh ne. Na primer, črta nima prevojne točke.
Poglejmo na naslednjem grafu primer funkcije z več kot eno prevojno točko:
Tudi v matematičnem smislu se točka pregiba izračuna tako, da je drugi odvod funkcije enak nič. Tako rešujemo koren (ali korenine) te enačbe in jo bomo imenovali Xi.
Nato zamenjamo Xi v tretji izpeljavi funkcije. Če se rezultat razlikuje od nič, se soočamo s prevojno točko.
Če pa je rezultat enak nič, moramo zamenjati zaporedne izpeljanke, dokler se vrednost tega izpeljanke, najsi bo to tretja, četrta ali peta, razlikuje od 0. Če je izpeljanka nenavadna, je prevojna točka, vendar če je celo ne.
Primer prelomnice
Nato si oglejmo primer.
Recimo, da imamo naslednjo funkcijo:
y = 2x4+ 5x3+ 9x + 14
y ’= 8x3+ 15x2+9
y »= 24x2+ 30x = 0
24x = -30
Xi = -1,25
Nato zamenjamo Xi v tretji izpeljavi:
y »’ = 48x
y »’ = 48x-1,25 = -60
Ker se rezultat razlikuje od nič, se znajdemo pred prevojno točko, ki bi bila, če je x enak -1,25 in y enak -2,1328, kot je prikazano na naslednjem grafu.
Pri tem je opaziti, da ima funkcija prevojno točko:
Zdaj pa si oglejmo še en primer:
y = x4-54x2
y ’= 4x3-108x
y »= 12x2-108=0
x2=9
Xi = 3 in -3
Nato nadomestimo dve korenini, ki jih najdemo v tretji izpeljavi:
y »’ = 24x
y »’ = 24 × 3 = 72
y »’ = 24x-3 = -72
Ker rezultat ni enak nič, imamo dve prevojni točki pri (3.567) in (-3.567).
Za dopolnitev informacij vas vabimo, da obiščete članek o pregibu, kjer ta pojem obravnavamo na bolj splošen način:
Opredelitev pregiba