Vezava Cramér-Rao (CCR) je najmanjša varianca, ki jo lahko glede na pogoje pravilnosti doseže ocenjevalnik enega parametra.
Z drugimi besedami, iščemo varianco, ki je najbližja tej spodnji meji, da bi našli najboljši ocenjevalec glede na lastnosti nepristranskosti in učinkovitosti.
Priporočljivo je prebrati lastnosti ocenjevalcev
Te lastnosti se uporabljajo, kadar moramo za izvedbo ekonometrične analize izbrati ocenjevalnik. Če želimo, da so naši rezultati dokončni, bomo morali vsaj, da je ocenjevalnik nepristranski in imeti najmanjšo možno varianco vseh nepristranskih ocenjevalcev (učinkovitost).
Čeprav upoštevamo vse nepristranske ocenjevalce, se pri iskanju ocenjevalnika minimalne variance lahko zgodi, da obstaja še en nepristranski ocenjevalec, ki ima manj variance.
Torej, da nam ne uide nepristranski ocenjevalec z minimalno varianco, določimo najmanjšo ali spodnjo mejo, ki varianca nepristranskega ocenjevalnika parametra ne more preseči.
Nepristranske ocenjevalce gledamo samo zato, ker imajo lahko pristranski ocenjevalci odstopanja, manjša od CCR.
Formulacija
Določimo:
f (X; Θ): funkcija gostote verjetnosti.
E (·): matematično upanje.
I (Θ): Fisherjeve informacije o parametru.
Predstavlja "količino informacij" o vrednosti parametra v opazovanju naključne spremenljivke X.
Formula:
Ne bodite panični! Kaj lahko vidimo na prvi pogled iz te formule?
- Vidimo lahko, da gre za nestrogo neenakost (≥) namesto za enakost (=). To je zato, ker v nekaterih primerih ne najdemo (ne obstaja) nepristranskega ocenjevalca, ki doseže mejo CCR. Zato pravimo, da iščemo varianco nepristranskega ocenjevalca, ki je čim bližje tej spodnji meji. Poleg tega nam CCR pove, kakšna bo najmanjša varianca ocenjevalca, pod to številko pa je ni mogoče najti.
- Desni del (var (Θ ’) je varianca ocene našega parametra.
- Levi del (1 / J (Θ)) je nepremostljivi minimum variance.
- Če iščemo (absolutni) minimum za varianco ocenjevalnika Θ, je logično, da se pojavijo delni derivati (izpeljanka glede na Θ).
- V ekonomiji se delni izvedeni finančni instrumenti uporabljajo v pogojih prvega in drugega reda za optimizacijo funkcij uporabnosti: poiščite relativni in absolutni maksimum oziroma minimum.
- CCR uporablja prvi delni odvod parametra Θ na funkcijo gostote verjetnosti f (X; Θ)
- Za lažji izračun se v nekaterih primerih za pridobitev CCR uporabljajo drugi izpeljani in nadomestni Fisherjevi podatki.
Ocenjevalci, ki imajo nepristransko varianco, enako CCR, bodo potem veljali za najučinkovitejše. Podobno bodo tisti nepristranski, katerih varianca je bližja, veljali za sorazmerno bolj učinkovite kot drugi ocenjevalci (bolj oddaljeni).