Linearna transformacija matrik

Linearna transformacija matric so linearne operacije z matricami, ki spreminjajo začetno dimenzijo danega vektorja.

Z drugimi besedami, dimenzijo vektorja lahko spremenimo tako, da jo pomnožimo s katero koli matrico.

Linearne transformacije so osnova vektorjev in lastnih vrednosti matrike, saj so linearno odvisne ena od druge.

Priporočeni članki: operacije z matricami, vektorji in lastnimi vrednostmi.

Matematično

Določimo matrikoC katera koli dimenzija 3 × 2, pomnožena z vektorjem V dimenzijen = 2 tako, da je V = (v₁, v₂).

Kakšne dimenzije bo vektor rezultata?

Vektor, ki izhaja iz zmnožka matrikeC_3×2z vektorjemV_2×1bo nov V 'vektor dimenzije 3.

Ta sprememba dimenzije vektorja je posledica linearne transformacije skozi matriko C.

Praktični primer

Glede na kvadratno matrikoR z dimenzijo 2 × 2 in vektorjemV dimenzije 2.

Linearna transformacija dimenzije vektorjaV je:

kjer je začetna dimenzija vektorja V je bila 2 × 1 in zdaj končna dimenzija vektorja Vidiš3 × 1. Ta sprememba dimenzije je dosežena z množenjem matrike R.

Ali je mogoče te linearne transformacije predstaviti grafično? No seveda!

Rezultatski vektor V 'bomo predstavili v ravnini.

Nato:

V = (2,1)

V ’= (6,4)

Grafično

Lastni vektorji z uporabo grafičnega prikaza

Kako lahko samo s pogledom na graf ugotovimo, da je vektor lastni vektor dane matrike?

Določimo matrikoD dimenzije 2 × 2:

Ali so vektorji v₁= (1,0) in v₂= (2,4) lastnih vektorjev matrike D?

Proces

1. Začnimo s prvim vektorjem v₁. Naredimo prejšnjo linearno transformacijo:

Torej, če vektor v₁ je lastni vektor matrike D, dobljeni vektor v₁'In vektor v₁spadali bi v isto vrstico.

Zastopamo v₁ = (1,0) in v₁’ = (3,0).

Ker sta oba v₁kot V₁'Spada v isto vrstico, v₁ je lastni vektor matrike D.

Matematično obstaja konstantah(lastna vrednost), tako da:

2. Nadaljujemo z drugim vektorjem v₂. Ponovimo prejšnjo linearno transformacijo:

Torej, če vektor v₂ je lastni vektor matrike D, dobljeni vektor v₂'In vektor v₂ pripadali naj bi isti vrstici (kot zgornji graf).

Zastopamo v₂ = (2,4) in v₂’ = (2,24).

Ker je v₂ in V₂’Ne pripadajo isti vrstici, v₂ ni lastni vektor matrike D.

Matematično ni konstanteh(lastna vrednost), tako da: