Linearna transformacija matrik
Linearna transformacija matric so linearne operacije z matricami, ki spreminjajo začetno dimenzijo danega vektorja.
Z drugimi besedami, dimenzijo vektorja lahko spremenimo tako, da jo pomnožimo s katero koli matrico.
Linearne transformacije so osnova vektorjev in lastnih vrednosti matrike, saj so linearno odvisne ena od druge.
Priporočeni članki: operacije z matricami, vektorji in lastnimi vrednostmi.
Matematično
Določimo matrikoC katera koli dimenzija 3 × 2, pomnožena z vektorjem V dimenzijen = 2 tako, da je V = (v1, v2).
Kakšne dimenzije bo vektor rezultata?
Vektor, ki izhaja iz zmnožka matrikeC3×2z vektorjemV2×1bo nov V 'vektor dimenzije 3.
Ta sprememba dimenzije vektorja je posledica linearne transformacije skozi matriko C.
Praktični primer
Glede na kvadratno matrikoR z dimenzijo 2 × 2 in vektorjemV dimenzije 2.
Linearna transformacija dimenzije vektorjaV je:
kjer je začetna dimenzija vektorja V je bila 2 × 1 in zdaj končna dimenzija vektorja Vidiš3 × 1. Ta sprememba dimenzije je dosežena z množenjem matrike R.
Ali je mogoče te linearne transformacije predstaviti grafično? No seveda!
Rezultatski vektor V 'bomo predstavili v ravnini.
Nato:
V = (2,1)
V ’= (6,4)
Grafično
Lastni vektorji z uporabo grafičnega prikaza
Kako lahko samo s pogledom na graf ugotovimo, da je vektor lastni vektor dane matrike?
Določimo matrikoD dimenzije 2 × 2:
Ali so vektorji v1= (1,0) in v2= (2,4) lastnih vektorjev matrike D?
Proces
1. Začnimo s prvim vektorjem v1. Naredimo prejšnjo linearno transformacijo:
Torej, če vektor v1 je lastni vektor matrike D, dobljeni vektor v1'In vektor v1spadali bi v isto vrstico.
Zastopamo v1 = (1,0) in v1’ = (3,0).
Ker sta oba v1kot V1'Spada v isto vrstico, v1 je lastni vektor matrike D.
Matematično obstaja konstantah(lastna vrednost), tako da:
2. Nadaljujemo z drugim vektorjem v2. Ponovimo prejšnjo linearno transformacijo:
Torej, če vektor v2 je lastni vektor matrike D, dobljeni vektor v2'In vektor v2 pripadali naj bi isti vrstici (kot zgornji graf).
Zastopamo v2 = (2,4) in v2’ = (2,24).
Ker je v2 in V2’Ne pripadajo isti vrstici, v2 ni lastni vektor matrike D.
Matematično ni konstanteh(lastna vrednost), tako da:
