Lastni vektorji so vektorji, pomnoženi z lastno vrednostjo pri linearnih pretvorbah matrike. Lastne vrednosti so konstante, ki pomnožijo lastne vektorje v linearnih transformacijah matrike.
Z drugimi besedami, lastni vektorji prevedejo informacije iz prvotne matrike v množenje vrednosti in konstanto. Lastne vrednosti so ta konstanta, ki pomnoži lastne vektorje in sodeluje pri linearni transformaciji prvotne matrike.
Čeprav je njegovo ime v španščini zelo opisno, se v angleščini imenujejo lastni vektorji lastni vektorji in lastne vrednosti, lastne vrednosti.
Priporočeni članki: matrične tipologije, inverzna matrika, determinanta matrike.
Lastni vektorji
Lastni vektorji so sklopi elementov, ki so z množenjem katere koli konstante enakovredni množenju prvotne matrike in nizov elementov.
Matematično lastni vektorV= (v1,…, Vn) kvadratne matrikeV je kateri koli vektorV ki izpolnjuje naslednji izraz za katero koli konstantoh:
QV = hV
Lastne vrednosti
Konstanta h je lastna vrednost, ki pripada lastnemu vektorju V.
Lastne vrednosti so resnične korenine (korenine, ki imajo za rešitev realna števila), ki jih najdemo s karakteristično enačbo.
Značilnosti lastnih vrednosti
- Vsaka lastna vrednost ima neskončne lastne vektorje, saj obstajajo neskončne realne številke, ki so lahko del vsakega lastnega vektorja.
- So skalarji, lahko so kompleksna števila (ne realna) in so lahko enaka (več kot enaka lastna vrednost).
- Lastnih vrednosti je toliko, kolikor je število vrstic (m) ali stolpci (n) ima izvirno matrico.
Vektorji in lastne vrednosti
Med vektorji in lastnimi vrednostmi obstaja linearna odvisnost, saj lastne vrednosti pomnožijo lastne vektorje.
Matematično
Če je V lastni vektor matrikeZ Y. h je lastna vrednost matrike Z, potemhV je linearna kombinacija med vektorji in lastnimi vrednostmi.
Značilna funkcija
Funkcija karakteristik se uporablja za iskanje lastnih vrednosti matrikeZ kvadrat.
Matematično
(Z - hl) V = 0
Kje ZY.h so opredeljeni zgoraj injaz je identitetna matrika.
Pogoji
Za iskanje vektorjev in lastnih vrednosti matrike mora biti zadoščeno:
- Matrica Z kvadrat: število vrstic (m) je enako številu stolpcev (n).
- Matrica Z resnično. Večina matric, ki se uporabljajo v financah, ima resnične korenine. Kakšna prednost je v uporabi pravih korenin? No, lastne vrednosti matrike nikoli ne bodo zapletene številke, in to, prijatelji, veliko rešuje naše življenje.
- Matrica (Z- hI) ni obrnljivo: determinanta = 0. Ta pogoj nam pomaga, da vedno najdemo lastne vektorje, ki niso nič. Če bi našli lastne vektorje, enake 0, bi bilo množenje med vrednostmi in lastnimi vektorji nič.
Praktični primer
Domnevamo, da želimo najti vektorje in lastne vrednosti aZ 2 × 2 dimenzijska matrica:
1. Nadomestimo matrico Z Y.jaz v karakteristični enačbi:
2. Določimo dejavnike:
3. Elemente pomnožimo, kot da bi iskali determinanto matrike.
4. Rešitev te kvadratne enačbe je h = 2 in h = 5. Dve lastni vrednosti, ker je število vrstic ali stolpcev v matriki Z je 2. Torej, našli smo lastne vrednosti matrike Z kar pa naredi determinanto 0.
5. Za iskanje lastnih vektorjev bomo morali rešiti:
6. Na primer (v1, v2) = (1,1) za h = 2 in (v1, v2) = (- 1,2) za h = 5:
