Choleskyjeva razgradnja je posebna vrsta razgradnje matrike LU, od angleškega Lower-Upper, ki vključuje razdeljevanje matrike v produkt dveh ali več matric.
Z drugimi besedami, Choleskyjeva razgradnja je sestavljena iz enačenja matrike, ki vsebuje enako število vrstic in stolpcev (kvadratna matrica), v matrico z ničlami nad glavno diagonalo, pomnoženo z njeno matrico, preneseno z ničlami pod glavno diagonalo.
Razgradnjo LU je za razliko od Choleskega mogoče uporabiti za različne vrste kvadratnih matric.
Značilnosti razgradnje Choleskega
Choleskyjevo razgradnjo sestavljajo:
- Zgornja trikotna kvadratna matrica: Kvadratna matrica, ki ima pod glavno diagonalo samo ničle.
- Spodnja trikotna kvadratna matrica: Matrica, ki ima nad glavno diagonalo samo ničle.
Matematično, če obstaja pozitivno določena simetrična matrika, IN, potem obstaja spodnja trikotna simetrična matrica, K, enake dimenzije kot IN, kaže v:
Zgornja matrika je prikazana kot Choleskyjeva matrika E. Ta matrica deluje kot kvadratni koren matrike E. Vemo, da je domena kvadratnega korena:
(X ∈ ℜ: x ≥ 0)
Kar je opredeljeno v vseh nenegativnih realnih številih. Enako kot kvadratni koren bo tudi Choleskyjeva matrica obstajala le, če je matrica polpozitivno določena. Matrica je polpozitivna, kadar imajo večje mladoletne osebe pozitiven ali ničelni dejavnik.
Choleskyjeva razgradnja IN je diagonalna matrika, ki:
Vidimo, da so matrice kvadratne in vsebujejo omenjene značilnosti; trikotnik ničel nad glavno diagonalo v prvi matrici in trikotnik ničel pod glavno diagonalo v transformirani matriki.
Aplikacije za razgradnjo Choleskega
V financah se uporablja za pretvorbo realizacij neodvisnih normalnih spremenljivk v normalne spremenljivke, korelirane po korelacijski matrici IN.
Če je N vektor neodvisnih normalnih vrednosti (0,1), iz tega izhaja, da je S vektor normalnih vrednosti (0,1), koreliran glede na IN.
Primer Choleskyjeve razgradnje
To je najpreprostejši primer Choleskyjeve razgradnje, saj morajo biti matrice kvadratne, v tem primeru je matrica (2 × 2). Dve vrstici za dva stolpca. Poleg tega ustreza značilnostim ničel nad in pod glavno diagonalo. Ta matrika je polpozitivno določena, ker imajo večje mladoletnice pozitiven dejavnik. Določimo:
Reševanje za: c2 = 4; b · c = -2; do2+ b2 = 5; imamo štiri možne Choleskyjeve matrike:
Na koncu izračunamo, da najdemo (a, b, c). Ko jih najdemo, bomo dobili Choleskyjeve matrike. Izračun je naslednji:
