Antisimetrična matrika je kvadratna matrika, pri kateri so elementi zunaj glavne diagonale simetrično enaki, toda tisti pod glavno diagonalo imajo negativni predznak.
Z drugimi besedami, antisimetrična matrika je matrika, ki ima enako število vrstic (n) in stolpcev (m), elementi na obeh straneh glavne diagonale pa se dopolnjujejo.
Ker so elementi nad in pod glavno diagonalo zamaknjeni, so elementi na glavni diagonali ničli.
Priporočen članek: nesimetrična matrika in simetrična matrica.
Značilnosti antisimetrične matrike
Značilnosti antisimetrične matrike so:
- Kvadratna matrica.
- Simetrična matrica + negativni predznak (-) v elementih pod glavno diagonalo.
- Elementi glavne diagonale so ničle (0).
Antisimetrična matrika
Glede na kvadratno matrico ACE,
Vidimo lahko, kako se isti elementi pojavljajo na obeh straneh glavne diagonale, vendar s to posebnostjo, da imajo elementi pod glavno diagonalo spredaj negativni znak. Tudi glavno diagonalo sestavljajo ničle.
Antisimetrična matrika in ogledala
Enako kot simetrično matrico lahko antisimetrično matriko razumemo tudi na primeru ogledala.
Če se pogledamo v ogledalo in dvignemo desno roko, bomo videli, da oseba v ogledalu dvigne levo roko. Z drugimi besedami, gibanje ogledala dopolnjuje naše, zato bi vsota obeh povzročila nič.
Zgornjo idejo lahko izrazimo na naslednji način in ugotovimo:
(Dvigni roko prav) - (Dvigni roko levo) = 0
(Dvigni roko prav) = (Dvigni roko levo)
Glavna diagonala deluje kot ogledalo in na obeh straneh glavne diagonale vidimo nasprotne elemente. Nevtralna funkcija (=) se preslika na glavno diagonalo.
Nepremičnina
- Prenesena matrica antisimetrične matrike je enaka antisimetrični matriki, pomnoženi z (-1).
Z drugimi besedami, to bi bilo kot dodati negativni znak pred antisimetrično matrico.
Matematično,
Vidimo lahko, da z obema postopkom pridemo do istega rezultata: naredimo matrico transponirano ali pomnožimo z (-1) antisimetrično matrico.
Nesimetrična matrica vs antisimetrična matrica vs simetrična matrica
Primer zrcala v primeru simetrične matrike zadostuje, da odraža isto gibanje, torej če dvignemo roko, lahko vidimo dvignjeno roko, ni pa treba navesti, za kaj gre. V primeru antisimetrične matrike moramo preveriti, katero roko vidimo v ogledalu in ugotoviti, ali gre za antisimetrično matrico.
Če dvignemo roko in se v ogledalu vidimo, da …
- Ista roka je dvignjena z vidika osebe v ogledalu, potem je to simetrična matrica.
- Nasprotno roko dvignemo z vidika osebe v ogledalu, potem je antisimetrična matrica.
- Če z vidika osebe v ogledalu ni dvignjena nobena roka ali več kot ena, potem gre za nesimetrično matriko.