Tetraeder je polieder s štirimi ploskvami, šestimi robovi in štirimi oglišči. To je tridimenzionalna figura, ki jo tvori več poligonov, ki so v tem primeru trikotniki.
Za tetraeder je značilno, da je najpreprostejši od poliedrov in edini, ki ima manj kot pet stranic.
Omeniti velja, da je tetraeder piramida s trikotno osnovo.
Elementi tetraedra
Elementi tetraedra, ki nas vodijo na spodnji sliki, so:
- Obrazi: So stranice tetraedra, ki so, kot smo že omenili, trikotniki (ABC, ADC, ADB in BDC.
- Robovi: Gre za združitev dveh obrazov: AB, AC, AD, BC, CD in DB.
- Točke: To so tiste točke, kjer se stikajo robovi: A, B, C in D.
- Dvostranski kot: Nastane z združitvijo dveh obrazov.
- Kot poliedra: To je tisto, ki ga sestavljajo stranice, ki sovpadajo v eni točki.
Površina in prostornina tetraedra
Za poznavanje značilnosti tetraedra lahko izračunamo:
- Območje: Treba bi bilo dodati površino štirih trikotnikov, ki sestavljajo polieder. V tem smislu se moramo zavedati, da se površina trikotnika izračuna tako, da osnovo pomnožimo z višino in delimo z 2 (A = bxh / 2)
- Prostornina: Izračunali bi ga z naslednjo formulo
V formuli je b katera koli ploskev poliedra, h pa višina ali odsek, ki povezuje b s svojim nasprotnim ogliščem. Poleg tega je višina pravokotna na podlago (tvorijo pravi kot ali meri 90 °).
Navadni tetraeder
Ko so vsi trikotniki, ki tvorijo tetraeder, enakostranični trikotniki, ki so si enaki, se soočimo z običajnim tetraedrom. To pomeni, da bi šlo za pravilen polieder, katerega obrazi so vsi enaki in vsak je tudi pravilen mnogokotnik.
Na tej točki se moramo zavedati, da je pravilen mnogokotnik tisti, kjer imajo vse stranice enako dolžino in tudi njihovi notranji koti so enaki.
Spomnimo se torej, da lahko površino (A) enakostraničnega trikotnika izračunamo s Heronovo formulo, kjer so a, b in c mere stranic, s pa polperimeter, ki je obod (P) med dvema.
Potem ja:
P = a + b + c = a + a + a = 3a
Moramo:
Potem, ker obstajajo štirje trikotniki, površino vsakega pomnožimo s 4, da poiščemo površino tetraedra (AT):
Po drugi strani pa moramo, če želimo izračunati prostornino, najti višino poliedra. Za to nas bo vodila naslednja slika:
Najprej bomo izračunali višino (h) osnove (v tem primeru trikotnik ABC), ki je odsek EB. Kot X meri 90 °, zato je treba izpolniti pitagorejski izrek, hipotenuza (BA), ki meri a (dolžina vseh robov v tem tetraedru), pa je enaka vsoti vsakega kvadrata na kvadrat. Ena od krakov je EA, je sredina segmenta AC (E prereže stranico na dva enaka dela) in meri a / 2. Tudi drugi krak je višina podnožja (h ali EB).
Potem bo po lastnosti pravilnega tetraedra, pri čemer je F središče trikotnika, EF ena tretjina segmenta EB, to je ena tretjina h.
Naslednji korak, da poiščemo višino tetraedra (DF), lahko ponovno uporabimo Pitagorin izrek, ker je višina pravokotna, kot Y je pravi (meri 90 °).
Če pogledamo trikotnik DEF, je hipotenuza DE, ki je višina trikotnika ADC, in ker so vse ploskve enake, je enaka višina h trikotnika ABC. V zameno je ena kateta višina tetraedra (DF), ki jo bomo imenovali ht, druga kateta pa segment EF, ki smo ga že izračunali. Zato:
Na koncu, da najdemo prostornino tetraedra (V), kot smo že pojasnili, višino slike (ht) pomnožimo s površino osnove (A), ki je izračunana zgoraj, in jo delimo s tremi:
Primer tetraedra
Ob predpostavki, da je tetraeder pravilen in je vsaka stran njegovih obrazov 20 metrov. Kolikšna je površina (AT) in prostornina (V) slike?
