Lastnosti pričakovanih vrednosti

Pričakovana vrednost naključne spremenljivke je koncept, analogen matematični algebri, ki upošteva aritmetično sredino niza opazovanj omenjene spremenljivke.

Z drugimi besedami, pričakovana vrednost naključne spremenljivke je vrednost, ki se najpogosteje pojavi med ponavljanjem poskusa večkrat.

Lastnosti pričakovanih vrednosti naključne spremenljivke

Pričakovana vrednost naključne spremenljivke ima tri lastnosti, ki smo jih razvili spodaj:

Lastnost 1

Za katero koli konstanto g bo pričakovana vrednost te konstante izražena kot E (g) in bo enaka konstanti g. Matematično:

E (g) = g

Ker je g konstanta, torej ni odvisna od nobene spremenljivke, bo njena vrednost ostala enaka.

Primer

Kakšna je pričakovana vrednost 1? Z drugimi besedami, kakšno vrednost dodelimo številki 1?

E (1) =?

Točno številu 1 dodelimo vrednost 1 in njegova vrednost se ne bo spremenila ne glede na to, koliko let minevajo ali se zgodijo naravne nesreče. Torej imamo opravka s konstanto spremenljivke in zato:

E (1) = 1 ali E (g) = g

Lahko poskusijo z drugimi številkami.

Lastnost 2

Za katero koli konstanto h in k bo pričakovana vrednost premice h · X + k enaka konstanti h, pomnoženi s pričakovanjem naključne spremenljivke X plus konstante k. Matematično:

E (h X + k) = h E (X) + k

Poglejte pozorno, ali vas to ne spominja na zelo znano strejt? Točno, regresijska črta.

Če zamenjamo:

E (hX + k) = Y

E (X) = X

k = B₀

h = B₁

Imate:

Y = B₀ + B₁X

Ko so ocenjeni koeficienti B₀ , B₁ , to je B₀ , B₁ , ti ostanejo enaki za celoten vzorec. Torej uporabljamo lastnost 1:

E (B₀) = B₀

E (B₁) = B₁

Tu najdemo tudi lastnost nepristranskosti, to je pričakovana vrednost ocenjevalca je enaka njegovi populacijski vrednosti.

Če se vrnemo na E (h · X + k) = h · E (X) + k, je pomembno upoštevati, da je Y E (h · X + k), ko sklepamo iz regresijskih črt. Z drugimi besedami, reklo bi se, da ko se X poveča za eno, Y poveča za pol h enot, saj je Y pričakovana vrednost črte h · X + k.

Lastnost 3

Če je H vektor konstant in X vektor naključnih spremenljivk, lahko pričakovano vrednost izrazimo kot vsoto pričakovanih vrednosti.

H = (h₁ , h_2, , …, h_n)

X = (X₁ , X_2, , …, X_n)

zdravo₁X₁ + h₂X₂ +… + H_nX_n) = h₁· BIVŠE₁) + h₂· BIVŠE₂) +… + H_n· BIVŠE_n)

Izraženo z vsotami:

Ta lastnost je zelo uporabna za izpeljave na področju matematične statistike.