Kurtoza je statistično merilo, ki določa stopnjo koncentracije, da so vrednosti spremenljivke prisotne okoli osrednjega območja frekvenčne porazdelitve. Znan je tudi kot ciljni ukrep.
Ko merimo naključno spremenljivko, so na splošno rezultati z največjo frekvenco tisti okoli povprečja porazdelitve. Predstavljajmo si višino učencev v razredu. Če je povprečna višina razreda 1,72 cm, je najbolj normalno, da so višine ostalih učencev okoli te vrednosti (z določeno stopnjo variabilnosti, vendar ne prevelike). Če se to zgodi, se šteje, da je porazdelitev naključne spremenljivke normalno porazdeljena. Toda glede na neskončnost spremenljivk, ki jih je mogoče izmeriti, ni vedno tako.
Obstajajo nekatere spremenljivke, ki predstavljajo višjo stopnjo koncentracije (manj razpršenosti) vrednosti okoli njihove povprečne vrednosti, druge pa, nasprotno, predstavljajo nižjo stopnjo koncentracije (večjo razpršenost) njihovih vrednosti okoli njihove osrednje vrednosti. Zato nas kurtoza obvešča, kako koničasta (višja koncentracija) ali sploščena (nižja koncentracija) je porazdelitev.
Ukrepi osrednje tendenceKumulativna frekvencaVrste kurtoz
Glede na stopnjo kurtoze imamo tri vrste porazdelitve:
1. Leptokurtik: Okoli njihove srednje vrednosti je velika koncentracija vrednosti (g2>3)
2. mezokurtska: V povprečju je povprečna koncentracija vrednosti (g2=3).
3. Platicúrtica: Okoli njihove povprečne vrednosti je koncentracija nizka (g2<3).
Meritve kurtoze glede na podatke
Odvisno od razvrščanja podatkov v skupine ali ne, se uporablja ena ali druga formula.
Nerazvrščeni podatki:
Podatki, razvrščeni v frekvenčne tabele:
Podatki, razvrščeni v intervale:
Primer izračuna kurtoze za nerazvrščene podatke
Recimo, da želimo izračunati kurtozo naslednje porazdelitve:
8,5,9,10,12,7,2,6,8,9,10,7,7.
Najprej izračunamo aritmetično sredino (µ), ki bi bila 7,69.
Nato izračunamo standardni odklon, ki bi bil 2,43.
Po teh podatkih in za lažji izračun lahko naredimo tabelo za izračun dela števca (četrti trenutek razdelitve). Za prvi izračun bi bilo: (Xi-µ) 4 = (8-7,69) 4 = 0,009.
| Podatki | (Xi-µ) 4 |
|---|---|
| 8 | 0,0090 |
| 5 | 52,5411 |
| 9 | 2,9243 |
| 10 | 28,3604 |
| 12 | 344,3330 |
| 7 | 0,2297 |
| 2 | 1049,9134 |
| 6 | 8,2020 |
| 8 | 0,0090 |
| 9 | 2,9243 |
| 10 | 28,3604 |
| 7 | 0,2297 |
| 7 | 0,2297 |
| N = 13 | ∑ = 1.518,27 |
Ko izdelamo to tabelo, bi morali preprosto uporabiti formulo, ki je bila predhodno izpostavljena kurtozi.
g2 = 1.518,27/13*(2,43)^4 = 3,34
V tem primeru od g2 je večja od 3, bi bila porazdelitev leptokurtična, kar bi pomenilo večje usmeritve kot običajna porazdelitev.
Presežek kurtoze
V nekaterih priročnikih je kurtoza predstavljena kot presežna kurtoza. V tem primeru se neposredno primerja z normalno distribucijo. Ker ima običajna porazdelitev kurtozo 3, bi za pridobitev presežka morali le odšteti 3 od našega rezultata.
Presežek kurtoze = g2-3 = 3,34-3 = 0,34.
Razlaga rezultata v tem primeru bi bila naslednja:
g2-3> 0 -> leptokurtična porazdelitev.
g2-3 = 0 -> mezokortikalna (ali normalna) porazdelitev.
g2-3 platikurtična porazdelitev.
Opisna statistika