Darmoisov izrek je izrek, ki omogoča iskanje statističnega podatka T za parameter θ z lastnostjo zadostnosti.
S še preprostejšimi besedami omogoča iskanje matematičnega izraza, če sploh, zadostne statistike.
V zvezi z Fisher-Neymanovim faktoring faktorjem lahko premislimo. Fisher-Neymanovo faktoring merilo služi tako za preverjanje, ali statistika izpolnjuje lastnost zadostnosti, kot tudi za iskanje matematičnega izraza zadostne statistike (če obstaja). Nasprotno pa Darmoisov izrek omogoča le iskanje matematičnega izraza (če obstaja) zadostne statistike.
Recimo, da medtem ko se Fisher-Neymanov faktoring kriterij premika naprej (iskanje) in nazaj (preverjanje), se Darmoisov izrek premika le naprej (iskanje).
Formula Darmoisovega izreka
Teoretično je izražen z enostavnim naključnim vzorcem naključne spremenljivke X s funkcijo gostote f (x; θ) z θ ∈ Ω. Če ta funkcija pripada eksponentni družini, to je, jo lahko izrazimo tako, da:
f (x; θ) = β (θ) × b (x) × e (a (x) × α (θ)
Potem je statistika T = T (x1,…, xn) = Σ a (x)
Za lažje izračune se običajno izvede logaritemski zapis:
lnf (x; θ) = lnβ (θ) + lnb (x) + (a (x) × α (θ))
Seveda je težko razumeti vse te matematične zapise. Pojavi se veliko neznank, veliko črk, veliko operaterjev. Na novo ga opredelimo s pogovornimi besedami. V ta namen bomo začeli s teoretično definicijo, ki se uporablja za primer:
Denimo naključni vzorec 50 otrok (preprost naključni vzorec), ki jih vprašamo, koliko denarja na teden zapravijo za sladkarije (naključna spremenljivka X) z dano funkcijo gostote (glej funkcijo gostote). Torej, če je ta funkcija gostote, jo lahko izrazimo na naslednji način:
Ugotovili bomo, da je zadostna statistika vsota izraza a (x)
Deli formule so opredeljeni na naslednji način:
- lnβ (θ): To je funkcija, ki je odvisna samo od parametra (v našem primeru srednje vrednosti)
- lnb (x): To je funkcija, ki je odvisna samo od naključne spremenljivke X
- a (x): To je funkcija, ki je odvisna samo od X in pomnoži α (θ)
- α (θ): To je funkcija, ki je odvisna samo od parametra (v našem primeru povprečne vrednosti)
Darmoisov izrek v praksi
Čeprav imamo vsi zmožnost in orodja za odkrivanje novih statistik, je to redko norma. Z drugimi besedami, profesorji ekonomije in strokovnjaki s tega področja raziskujejo te teme.
Osebno je težko najti nekoga, ki bi se posvečal tovrstnim raziskavam. Tako je v praksi pomembno pri tem izreku razumeti, od kod prihajajo te statistike, ki jih uporabljamo.
Na primer, da bi nekdo ugotovil, da je povprečje zadostna statistika, verjetno uporabil ta postopek.
