Eksponentna funkcija je osnova neprekinjenega mešanja, kar je rezultat neskončnega povečevanja (kadar p teži v neskončnost) pogostosti izračuna obresti v sestavljeni mešanici.
Z drugimi besedami, eksponentna funkcija je sestavljena zmes, kjer so časovna obdobja med izračuni obresti neskončno majhna (zelo majhna).
Formula za eksponentno funkcijo je:
Neprekinjeno mešanje lahko izrazimo kot
Razumne podobnosti med neprekinjeno uporabo velikih začetnic in eksponentno funkcijo, kajne?
Določimo spremenljivke neprekinjene uporabe velikih začetnic:
- Ct + 1: kapital v času t + 1 (kasneje).
- Ct: kapital v času t (trenutni).
- jazt: obrestna mera v času t.
- p: pogostost mešanja ali periodičnost.
- t: čas.
Aplikacije
V financah pogosto najdemo eksponentno funkcijo v formuli za kontinuirano kapitalizacijo prihodnjega dohodka in v nekaterih ekonometričnih regresijah.
V ekonomiji ni tako priljubljen, ker večina mikroekonomskih in makroekonomskih modelov predvideva zmanjševanje mejnih donosov svojih proizvodnih dejavnikov. Zato domnevajo, da faktorji sledijo logaritemskim donosom in se zato vrnejo v nasprotju z eksponentno funkcijo.
Primer eksponentne funkcije
Predvidevamo, da smo ameriški vlagatelj, ki želi zgraditi smučišče v mestu Pico Bolívar v Venezueli. Začetna naložba je 100 milijonov dolarjev po letni obrestni meri 100%. Ta vlagatelj ima dovolj pogajalskih moči, da določi periodičnost izračuna obresti na njegovo naložbo.
Kakšno alternativo bo raje imel ameriški vlagatelj?
Za odgovor na vprašanje bomo morali pravočasno izračunati kapital t + 1 (Ct + 1), ki ga bo prejel vlagatelj.
Razpoložljive informacije:
Ct: 100 USD
jazt: 100%
t: 1 (letno)
Ct + 1: ?
| Alternativa | TO | B | C | D | IN | F |
| Periodičnost | 1 | 2 | 50 | 100.000 | 10.000.000 | 1.000.000.000 |
Informacije, ki jih imamo, nadomestimo v obeh formulah (funkcija exp. In neprekinjena uporaba velikih začetnic)
Podatke obravnavamo tako, da se izogibamo MM.
Delimo (Ct + 1) na 100 v eksponentni funkciji za odpravo učinka kapitala. Na ta način vejico premaknemo za dve mesti naprej. Posledično je ta učinek viden v naslednjih stolpcih z rezultati.
Rezultati:
| Formula | Neprekinjeno mešanje | Eksponentna funkcija |
| Periodičnost (p) ali (n) | Ct + 1 | Ct + 1/100 |
| 1 | 200 | 2 |
| 2 | 225 | 2,25 |
| 50 | 269,1588029 | 2,691588029 |
| 100.000 | 271,8268237 | 2,718268237 |
| 10.000.000 | 271,8281694 | 2,718281694 |
| 1.000.000.000 | 271,8282031 | 2,718282031 |
Ko n ali p težita k neskončnosti, v tem primeru od 10.000.000, lahko vidimo, da se vrednosti konvergirajo na točno določeno število. Za neprekinjeno mešanje je 271,8281, za eksponentno funkcijo pa 2,718281. Dve seriji se zbližata in.
Odziv na vadbo rešen
Torej, kakšno alternativo bo na koncu izbral ameriški vlagatelj, če pa bo med številnimi periodičnostmi kapital pri t + 1 (Ct + 1) stojnice na določeni vrednosti?
- Če ta vlagatelj kapital obravnava kot diskretno spremenljivko, bo izbral alternativo D. Ker je med možnostmi C kapital pri t + 1 (Ct + 1) se približa 271 milijonov dolarjev.
- Če ta vlagatelj kapital obravnava kot stalno spremenljivko, bo izbral alternativo z več periodičnostmi. V tem primeru je alternativa F. Tudi če se na koncu približa vrednosti, vlagatelj upošteva vse decimalke.
Ta konvergenca pomeni, da je kapital pri t + 1 (Ct + 1), izračunano z uporabo formule neprekinjenega mešanja ali eksponentne funkcije, sledi padajočim mejnim donosom. Z drugimi besedami, (Ct + 1) lahko izrazimo kot logaritemsko funkcijo.
Shematsko:
- Periodičnost = eksponentna funkcija.
- Kapital do t + 1 (Ct + 1) = logaritmična funkcija.
Grafična predstavitev
Na grafu lahko vidite, kako eksponentna funkcija, ki je neskončno neprekinjena, raste veliko hitreje kot omejena neprekinjena uporaba velikih začetnic. Ko govorimo o neprekinjeni kapitalizaciji, se sklicujemo na nekakšno sestavljeno kapitalizacijo, vendar z večjo periodičnostjo, saj v praksi ni mogoče neskončno kapitalizirati obresti. Mislim, ne moremo izkoristiti vsake sekunde.