Združevanje dogodkov je operacija, katere rezultat je sestavljen iz vseh neponovljenih elementarnih dogodkov, ki so skupni dvema ali več sklopom in niso skupni.
To pomeni, da bi glede na dve množici A in B zvezo A in B tvorili vsi neponavljajoči se množici, ki imata A in B. Intuitivno bi verjetnost združitve dogodkov A in B pomenila odziv na vprašanje: Kolikšna je verjetnost, da pride A ven ali B?
Simbol za združitev dogodkov je U. Na tak način, da če želimo matematično opaziti zvezo dveh dogodkov B in D, bi jo opazili kot: B U D.
Splošno združevanje dogodkov
Do zdaj smo videli in nakazali združitev dveh dogodkov. Na primer A U B ali B U D. Kaj pa, če imamo tri, štiri in celo sto dogodkov?
Temu pravimo posploševanje, to je formula, ki nam pomaga, da v teh primerih opazimo delovanje združitve dogodkov. Če imamo 8 dogodkov, bomo namesto pisanja desetih dogodkov uporabili naslednji zapis:
Namesto da bi klicali vsak dogodek A, B ali katero koli črko, bomo poklicali Da. S je dogodek, indeks i pa številko. Tako, da bomo na primeru 10 dogodkov imeli naslednje:
Kar smo storili, je, da uporabimo prejšnji zapis in ga razvijemo. Zdaj nam ne bo vedno treba. Še posebej, ko gre za veliko število dogodkov.
Zveza ločenih in neskladnih dogodkov
Koncept ločenih dogodkov kaže na to, da dva dogodka nimata skupnih elementov.
Ko sta ločeni, je združitev dogodkov enostavna. Dodati morate le verjetnosti obeh, da dobite verjetnost, da se zgodi en ali drugi dogodek. Kadar pa dogodki niso ločeni, je treba dodati majhno podrobnost. Ponavljajoče se elemente je treba odstraniti. Na primer:
Denimo, da je razmik rezultatov od 1 do 5. Dogodki so naslednji:
Dogodek A: (1,2,4) -> 60% verjetnost = 0,6
Dogodek B: (1,4,5) -> 60% verjetnost = 0,6
Operacija A U B bi bila intuitivno dodajanje dogodkov A in dogodkov B, če pa bi to storili, bi bila verjetnost 1,2 (0,6 + 0,6). In kot kažejo verjetnostni aksiomi, mora biti verjetnost vedno med 0 in 1. Kako jo rešimo? Odštevanje presečišča dogodkov A in B. To pomeni, da odstranimo ponavljajoče se elemente:
A + B = (1,1,2,4,4,5)
A ∩ B = (1,4)
A U B = A + B - (A ∩ B) = (1,2,4,5)
Če se obrnemo na verjetnosti, bi morali:
P (A U B) = P (A) + P (B) - P (A ∩ B) = 0,6 +0,6 - 0,4 = 0,8 (80%)
Verjetnost, da se bo pojavilo 1 ali 2 ali 4 ali 5. Ob predpostavki, da imajo vsa števila enako verjetnost, je 80%.
Grafično bi izgledalo takole:
Lastnosti prireditvene zveze
Pridružitev dogodkom je vrsta matematične operacije. Nekatere vrste operacij so tudi seštevanje, odštevanje, množenje. Vsak od njih ima vrsto lastnosti. Na primer, vemo, da je rezultat seštevanja 3 + 4 popolnoma enak rezultatu seštevanja 4 +3. Na tej točki ima unija dogodkov več lastnosti, ki jih je vredno vedeti:
- Komutativno: To pomeni, da vrstni red, v katerem je napisan, ne spremeni rezultata. Na primer:
- A U B = B U A
- C U D = D U C
- Združenje: Ob predpostavki, da gre za tri dogodke, nas ne zanima, katerega narediti najprej in katerega narediti naslednjega. Na primer:
- (A U B) U C = A U (B U C)
- (A U C) U B = (A U B) U C
- Distributivni: Ko vključimo vrsto operacije presečišča, velja distribucijska lastnost. Samo poglejte naslednji primer:
- A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C)
Primer unije dogodkov
Preprost primer združitve dveh dogodkov A in B bi bil naslednji. Recimo, da gre za metanje popolne matrice. Matrica, ki ima šest obrazov oštevilčenih od 1 do 6. Na tak način, da so dogodki opredeljeni spodaj:
DO: Da je večja od 2. (3,4,5,6) je po verjetnosti 4/6 => P (A) = 0,67
C: Naj pride ven pet. (5) v verjetnosti je 1/6 => P (C) = 0,17
Kolikšna je verjetnost A U C?
P (A U C) = P (A) + P (C) - P (A ∩ C)
Ker ga P (A) in P (C) že imata, bomo izračunali P (A ∩ C)
A ∩ C = (5) v verjetnostih P (A ∩ C) = 1/6 = 0,17
Končni rezultat je:
P (A U C) = P (A) + P (C) - P (A ∩ C) = 0,67 + 0,17 - 0,17 = 0,67 (67%)
Verjetnost, da se bo valjala več kot 2 ali da se bo valjala 5, je 67%.