Taylorjev polinom - kaj je to, opredelitev in koncept
Taylorjev polinom je polinomski približek funkcijen krat izpeljan na določeni točki.
Z drugimi besedami, Taylorjev polinom je končna vsota lokalnih derivatov, ovrednotenih na določeni točki.
Matematično
Določimo:
f (x): funkcija x.
f (x0): funkcijaxna določeni točki x0. Formalno je zapisano:
F(n)(x):n-ti odvod funkcije f (x).
Aplikacije
Taylorjeva razširitev se običajno uporablja za finančna sredstva in produkte, katerih cena je izražena kot nelinearna funkcija. Na primer, cena kratkoročnega dolžniškega vrednostnega papirja je nelinearna funkcija, ki je odvisna od obrestnih mer. Drug primer bi bile možnosti, pri katerih so dejavniki tveganja in donosnost nelinearne funkcije. Izračun trajanja vezi je Taylorjev polinom prve stopnje.
Primer Taylorjevega polinoma
Najti želimo drugi vrstni red Taylorjevega približanja funkcije f (x) v točki x0=1.
1. Izdelamo ustrezne odvode funkcije f (x).
V tem primeru nas prosijo do drugega reda, zato bomo naredili prvi in drugi odvod funkcije f (x):
- Prva izpeljanka:
- Drugi izpeljanka:
2. Nadomestimo x0= 1 v f (x), f '(x) in f' '(x):
3. Ko imamo vrednost izpeljank v točki x0= 1, jo nadomestimo v Taylorjevem približku:
Nekoliko popravimo polinom:
Preverjanje vrednosti
Taylorjev približek bo ustrezen, bližje x0 biti vrednosti. Da bi to preverili, nadomestimo vrednosti blizu x0 tako v prvotni funkciji kot v zgornjem približku Taylorja:
Ko x0=1
Prvotna funkcija:
Taylorjev približek:
Ko x0=1,05
Prvotna funkcija:
Taylorjev približek:
Ko x0=1,10
Prvotna funkcija:
Taylorjev približek:
V prvem primeru, ko x0= 1, vidimo, da nam tako izvirna funkcija kot Taylorjev približek dajeta enak rezultat. To je posledica sestave Taylorjevega polinoma, ki smo ga ustvarili z lokalnimi derivati. Ti derivati so bili ovrednoteni na določeni točki x0= 1, da dobimo vrednost in ustvarimo polinom. Torej, kolikor bolj oddaljena je od te točke, x0= 1, manj primeren bo približek za prvotno nelinearno funkcijo. V primerih, ko x0= 1,05 in x0= 1,10 obstaja velika razlika med rezultatom prvotne funkcije in Taylorjevim približkom.
Ampak … razlika je zelo majhna, kajne?
Taylorjeva predstavitev polinoma
Če podaljšamo skrajnosti (kjer se približek odmakne od x0=1):
Na prvi pogled se zdi nepomembno, toda ko delamo na grafu in izvajamo približke, je zelo pomembno, da upoštevamo vsaj prve štiri decimalna mesta. Osnova približkov je natančnost.
